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Première partie : Choisir groupe de Lie SL(2,R) dans https://jeanhurel.fr/vulgarisation/index.html.
Deuxième partie : Ce document.
Pour imprimer : Choisir le mode paysage.
9. Bases variables de l'algèbre
11. Evolution par crochet de Lie
12. Evolution par accolade de Poisson
13. Codifférentielle des formes
15. Recherche facile des grandeurs invariantes par translation
17. Utilisation du logiciel Sage
9.1 Vecteurs invariants par translation
Ils s'obtiennent en développant la forme de Cartan suivant \(\mathbf{(da,db,dc)}\), soit \(\mathbf{\omega = da\, V_{a} +db\, V_{b} +dc\, V_{c}}\) .
Avec \(\mathbf{\overset{g}{\omega} = x^{-1}\, dx}\) on obtient :
\[
\mathbf{\overset {g}{V_{a}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}&\mathbf{\dfrac{b\,(1 + b\, c )}{a^{2}}}\\
\mathbf{-c}&\mathbf{-\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}
\end{bmatrix},\
\mathbf{\overset {g}{V_{b}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{a}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\ \mathrm{et}\
\mathbf{\overset {g}{V_{c}} =}\begin{bmatrix}
\mathbf{-b}&\mathbf{-\dfrac{b^{2}}{a}}\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{bmatrix}
\ \ \ (9.1.1)
\]
Avec \(\mathbf{\overset{d}{\omega} = dx\, x^{-1}}\) on obtient :
\[
\mathbf{\overset {d}{V_{a}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}&\mathbf{-b}\\
\mathbf{\dfrac{c\, (1+b\, c)}{a^{2}}}&\mathbf{-\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}
\end{bmatrix},\
\mathbf{\overset {d}{V_{b}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{-c}&\mathbf{a}\\
\mathbf{-\dfrac{c^{2}}{a}}&\mathbf{c}
\end{bmatrix}\ \mathrm{et}\
\mathbf{\overset {d}{V_{c}} =}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{\dfrac{1}{a}}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}
\ \ \ \ (9.1.2)
\]
Remarques
-On retrouve \(\mathbf{(H,X,Y)}\) si on se place en l'élement neutre.
-Les relations de commutation sont vérifiées avec ces matrices variables.
-Il est possible de retrouver le tenseur métrique du groupe.
9.2 Symboles des opérateurs
Si \(\mathbf{x}\) est la matrice de base du groupe et \(\mathbf{X}\) un opérateur différentiel, alors le symbole \(\mathbf{\sigma (X)}\)
calqué sur l'analyse, est défini par :
\[
\mathbf{\sigma (X)=x\, X \, x^{-1}}\, \ \ (9.2.1)
\]
On obtient pour les opérateurs différentiels de base :
\[
\mathbf{\sigma \left(\dfrac{\partial}{\partial a} \right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{-(1+b\, c)}{a}}&\mathbf{b}\\
\mathbf{-\dfrac{c\, (1+b\, c)}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{(1+b\, c)}{a}}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left( \dfrac{\partial}{\partial b}\right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{c}&\mathbf{-a}\\
\mathbf{\dfrac{c^{2}}{a}}&\mathbf{-c}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left( \dfrac{\partial}{\partial c}\right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{-\dfrac{1}{a}}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\, \ \ (9.2.2)
\]
ou
\[
\mathbf{\sigma \left(\dfrac{\partial}{\partial a} \right )=-\dfrac{(1+b\,c)}{a}\, H+b\, X-\dfrac{c\,(1+b\,c)}{a^{2}}\,Y}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left(\dfrac{\partial}{\partial b} \right )=c\,H-a\, x+\dfrac{c^{2}}{a}\, Y}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left(\dfrac{\partial}{\partial c} \right )=-\dfrac{1}{a}\, Y}\, \ \ (9.2.3)
\]
Il s'ensuit :
\[
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{a}} \right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{-1-2\,b \, c}&\mathbf{2\, a \, b}\\
\mathbf{\dfrac{-2\, c \, (1+b\,c)}{a}}&\mathbf{1+2\, b \, c}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{b}} \right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{a \, c}&\mathbf{-a^{2}}\\
\mathbf{c^{2}}&\mathbf{-a \, c}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{c}} \right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{-b\,(1+b\,c)}{a}}&\mathbf{b^{2}}\\
\mathbf{\dfrac{-(1+b\, c)^{2}}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{b\,(1+b\, c)}{a}}
\end{bmatrix}\, \ \ (9.2.4)
\]
ou
\[
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{a}} \right )=-\,(1+2\, b\, c)\, H+2\, a\,b\, X-\dfrac{2\, c\,(1+b\, c)}{a}\, Y}\\
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{b}} \right )=a\, c\, H-a^{2}\, X+c^{2}\, Y}\\
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{c}} \right )=\dfrac{-b\,(1+b\,c)}{a}\, H+b^{2}\, X-\dfrac{(1+b\, c)^{2}}{a^{2}}\, Y}\, \ \ (9.2.5)
\]
Avec les trois vecteurs précédents de (9.2.5) on peut écrire la matrice :
\[
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X} \right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{-\,(1+2\, b\, c)}&\mathbf{a\, c}&\mathbf{\dfrac{-b\,(1+b\,c)}{a}}\\
\mathbf{2\, a\,b}&\mathbf{-a^{2}}&\mathbf{b^{2}}\\
\mathbf{-\dfrac{2\, c\,(1+b\, c)}{a}}&\mathbf{c^{2}}&\mathbf{-\dfrac{(1+b\, c)^{2}}{a^{2}}}
\end{bmatrix}\, \ \ (9.2.6)
\]
Au signe près on retrouve la matrice de \(\mathbf{Ad_{x}}\) .
Remarques
-La permutation de \(\mathbf{x}\) et de \(\mathbf{x^{-1}}\) donne les matrices fixes \(\mathbf{(H,X,Y)}\) comme symboles.
-Les relations de commutation des opérateurs se répercutent sur les symboles (attention au signe).
-L'utilisation de la réciprocité \(\mathbf{L\, \to\,L^{\star}}\) permet de définir le symbole des formes.
-L'inversion de la matrice \(\mathbf{\sigma (X)}\) permet de définir aussi le symbole des formes.
-Il est donc possible d'obtenir des relations de commutation entre formes.
-Le même travail se fait avec les opérateurs invariant à droite (permuter \(\mathbf{x}\) et \(\mathbf{x^{-1}}\)).
-On peut reconstituer l'opérateur à partir du symbole.
10.1 Connexion de Levi-Civita
Dans ce sous-paragrphe nous allons utiliser la notation \(\mathbf{(x_{1},x_{2},x_{3})}\) au lieu de \(\mathbf{(a,b,c)}\).
Le tenseur métrique est défini par :
\[
\mathbf{g=-\dfrac{1}{2}\ trace(dx\ dx^{-1})}\, \ \ (10.1.1)
\]
soit
\[
\mathbf{g = \left( \frac{x_{2} x_{3} + 1}{x_{1}^{2}} \right) \mathrm{d} x_{1}\otimes \mathrm{d} x_{1}
-\frac{x_{3}}{2 \, x_{1}} \mathrm{d} x_{1}\otimes \mathrm{d} x_{2}
-\frac{x_{2}}{2 \, x_{1}} \mathrm{d} x_{1}\otimes \mathrm{d} x_{3}
-\frac{x_{3}}{2 \, x_{1}} \mathrm{d} x_{2}\otimes \mathrm{d} x_{1}
+ \frac{1}{2} \mathrm{d} x_{2}\otimes \mathrm{d} x_{3}
-\frac{x_{2}}{2 \, x_{1}} \mathrm{d} x_{3}\otimes \mathrm{d} x_{1}
+ \frac{1}{2} \mathrm{d} x_{3}\otimes \mathrm{d} x_{2}}\ \ \ \ (10.1.2)
\]
ou bien sous forme de tableau :
\[
\mathbf{\left [g \right ] =} \begin{bmatrix}
\mathbf{\frac{x_{2} x_{3} + 1}{x_{1}^{2}}} &\mathbf{ -\frac{x_{3}}{2 \, x_{1}}} &\mathbf{ -\frac{x_{2}}{2 \, x_{1}}} \\
\mathbf{-\frac{x_{3}}{2 \, x_{1}}} & \mathbf{0} & \mathbf{\frac{1}{2}} \\
\mathbf{-\frac{x_{2}}{2 \, x_{1}}} &\mathbf{\frac{1}{2}} &\mathbf{0}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (10.1.3)
\]
Ce qui permet de calculer les coefficients de Christoffel non nuls :
\[
\begin{array}{lcl}
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{1} \, x_{1} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{-\frac{x_{2} x_{3} + 1}{x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{1} \, x_{2} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{\frac{1}{2} \, x_{3}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{1} \, x_{3} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{\frac{1}{2} \, x_{2}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{2} \, x_{1} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{1}{2} \, x_{3}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{2} \, x_{3} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{1}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{3} \, x_{1} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{1}{2} \, x_{2}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{3} \, x_{2} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{1}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{1} \, x_{1} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{-\frac{{\left(x_{2} x_{3} + 1\right)} x_{2}}{x_{1}^{2}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{1} \, x_{2} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{1} \, x_{3} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2}^{2}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{2} \, x_{1} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{2} \, x_{3} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{2}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{3} \, x_{1} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2}^{2}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{3} \, x_{2} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{2}} \\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{1} \, x_{1} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{-\frac{{\left(x_{2} x_{3} + 1\right)} x_{3}}{x_{1}^{2}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{1} \, x_{2} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{3}^{2}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{1} \, x_{3} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{2} \, x_{1} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{3}^{2}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{2} \, x_{3} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{3}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{3} \, x_{1} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{3} \, x_{2} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{3}}\ \ \ \ (10.1.4)
\end{array}
\]
Ces coefficients permettent d'écrire une matrice de connexion :
\[
\mathbf{\Gamma =\,}\begin{bmatrix}
\mathbf{\left(-\dfrac{(x_{2} x_{3} + 1)}{x_{1}}\, dx_{1}+ \dfrac{1}{2} \, x_{3}\, dx_{2}+ \dfrac{1}{2} \, x_{2}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left (\dfrac{1}{2} \, x_{3}\, dx_{1} -\dfrac{1}{2} \, x_{1}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left (\dfrac{1}{2} \, x_{2}\, dx_{1} -\dfrac{1}{2} \, x_{1}\, dx_{2}\right )}\\
\mathbf{\left (-\dfrac{{\left(x_{2} x_{3} + 1\right)} x_{2}}{x_{1}^{2}}\, dx_{1} +\dfrac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}\, dx_{2}+\dfrac{x_{2}^{2}}{2 \, x_{1}}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left (\dfrac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}\, dx_{1} -\dfrac{1}{2} \, x_{2}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left (\dfrac{x_{2}^{2}}{2\,x_{1}}\, dx_{1}-\dfrac{1}{2}\, x_{2}\, dx_{2} \right )}\\
\mathbf{\left (-\dfrac{{\left(x_{2} x_{3} + 1\right)} x_{3}}{x_{1}^{2}}\, dx_{1}+ \dfrac{x_{3}^{2}}{2 \, x_{1}}\, dx_{2}+\dfrac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left(\dfrac{x_{3}^{2}}{2 \, x_{1}}\, dx_{1} -\dfrac{1}{2} \, x_{3}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left (\dfrac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}\, dx_{1} -\dfrac{1}{2} \, x_{3}\, dx_{2}\right)}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (10.1.5)
\]
Remarques
-La matrice (10.1.5) permet de calculer des dérivées covariantes si besoin est.
-Le calcul de \(\mathbf{d\, \Gamma +\Gamma \wedge\Gamma}\) donne la courbure de Riemann \(\mathbf{R}\).
-Le calcul de la courbure riemannienne scalaire(constante et négative) s'en déduit(voir utilisation du logiciel sage).
10.2 Equation des géodésiques
Rappelons la distance carrée vue dans le troisième paragraphe :
\[
\mathbf{ds^{2}=\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}\,da^{2}-\dfrac{c}{a}\,da\,db-\dfrac{b}{a}\,da\,dc + db\,dc}\ \ \ (10.2.1)
\]
Par analogie avec la mécanique du point matériel nous définissons les formes impulsion par :
\[
\begin{align}
\mathbf{P_{a}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ds^{2}}{\partial da}=}&\mathbf{\dfrac{(1+b\, c)}{a^{2}}\, da-\dfrac{c}{2\, a}\, db-\dfrac{b}{2\, a}\, dc}&\\
\mathbf{P_{b}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ds^{2}}{\partial db}=}&\mathbf{-\dfrac{c}{2\, a}\, da+\dfrac{1}{2}\,dc}&\\
\mathbf{P_{c}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ds^{2}}{\partial da}=}&\mathbf{-\dfrac{b}{2\, a}\, da+\dfrac{1}{2}\, db}&\ \ \ \ \ \ \ \ (10.2.2)
\end{align}
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{L=\dfrac{(1+b\,c)}{2\, a^{2}}\,\dot {a}^{2}-\dfrac{c}{2\, a}\,\dot{a}\,\dot{b}-\dfrac{b}{2\, a}\,\dot {a}\,\dot {c} + \dfrac{1}{2}\, \dot{b}\, \dot {c}}\ \ \ \ (10.2.3)
\]
Les équations de Lagrange s'écrivent :
\[\mathbf{\dfrac{\partial L}{\partial x}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0}\ \ \ \ (10.2.4)
\]
Après des calculs faciles mais longuets :
\[
\begin{cases}
\mathbf{2\, (1+b\, c)\, \ddot{a}-a\, c\,\ddot{b}- a\, b\,\ddot{c}-2\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, \dot{a}^{2}-2\,a\,\dot{b}\, \dot{c}+2\,c\,\dot{a}\, \dot{b}+2\,b\,\dot{a}\, \dot{c}=0}\\
\mathbf{-c\,\ddot{a}+a\,\ddot{c}=0}\\
\mathbf{-b\,\ddot{a}+a\,\ddot{b}=0}
\end{cases}\ \ \ \ (10.2.5)
\]
Par combinaison des relations (10.2.5), on obtient l'équation des géodésiques :
\[
\begin{cases}
\mathbf{\ddot{a}-\dfrac{(1+b\,c)}{a}\,\dot{a}^{2}-a\,\dot{b}\, \dot{c}+ c\,\dot{a}\, \dot{b}+b\,\dot{a}\, \dot{c}=0}\\
\mathbf{\ddot{b}-\dfrac{b\,(1+b\,c) }{a^{2}}\,\dot{a}^{2}-b\,\dot{b}\, \dot{c}+\dfrac{b\,c}{a}\, \dot{a}\, \dot{b}+\dfrac{b^{2}}{a}\, \dot{a}\, \dot{c}=0}\\
\mathbf{\ddot{c}-\dfrac{c\,(1+b\,c)}{a^{2}}\,\dot{a}^{2}-c\,\dot{b}\, \dot{c}+\dfrac{c^{2}}{a}\, \dot{a}\, \dot{b}+\dfrac{b\, c}{a}\, \dot{a}\, \dot{c}=0}\\
\end{cases}\ \ \ \ (10.2.6)
\]
Remarques
-On peut utiliser pour \(\mathbf{L}\) une expression quadratique des formes invariantes (voir 3.12), les équations de Lagrange deviennent simplistes :
\[
\mathbf{\dfrac{d}{dt}\, \left (\dfrac{\partial L}{\partial \omega ^{i}} \right )=0}\ \ \ \ (10.2.7)
\]
-C'est le même résultat que la formule habituelle faisant intervenir les symboles de Christoffel :
\[
\mathbf{\ddot{x^{k}}+ \Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{i} \, x_{j}}^{ \, x_{k}}\, \dot{x^{i}}\,\dot{x^{j}}=0 }\ \ \ \ (10.2.8)
\]
10.3 Connexions gauche et droite
Considérons les vecteurs \(\mathbf{\overset{g}{V_{i}} = x^{-1}\, \dfrac{\partial x}{\partial x^{i}}}\) qui sont dans l'algèbre de Lie et invariants par translation à gauche.
Ces vecteurs sont donnés dans le paragraphe 9.1 :
\[
\mathbf{\overset {g}{V_{a}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}&\mathbf{\dfrac{b\,(1 + b\, c )}{a^{2}}}\\
\mathbf{-c}&\mathbf{-\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\overset {g}{V_{b}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{a}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\overset {g}{V_{c}} =}\begin{bmatrix}
\mathbf{-b}&\mathbf{-\dfrac{b^{2}}{a}}\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (10.3.1)
\]
Introduisons la base fixe de l'algèbre de Lie :
\[
\begin{cases}
\mathbf{\overset{g}{V_{a}} = \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, H+\dfrac{b\, (1+b\, c)}{a^{2}} X-c\, Y}\\
\mathbf{\overset{g}{V_{b}}=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{1}{a} X}\\
\mathbf{\overset{g}{V_{c}}=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -b\, H\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\dfrac{b^{2}}{a} X +a\, Y}\ \ \ \ (10.3.2)
\end{cases}
\]
Inversons le système précédent :
\[
\begin{cases}
\mathbf{H =a\, \overset{g}{V_{a}} -b\, \overset{g}{V_{b}}+\ \ c\, \overset{g}{V_{c}}}\\
\mathbf{X =\ \ \ \ \ \ \ \ \ -a\, \overset{g}{V_{b}}}\\
\mathbf{Y =b\, \overset{g}{V_{a}}+\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, \overset{g}{V_{c}}}\ \ \ \ (10.3.3)
\end{cases}
\]
Différentions les relations 10.3.2 et exprimons le tout avec la base mobile :
\[
\begin{align}
\mathbf{d\overset{g}{V_{a}}=}&\mathbf{\left (-\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, da +c\, db\right ) \overset{g}{V_{a}}}\\
&\mathbf{\left ( -\dfrac{b\, (1+b\, c)}{a^{2}}\, da+ \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, db \right ) \overset{g}{V_{b}}}\\
&\mathbf{\left (-\dfrac{c\, (1+b\, c)}{a^{2}}\, da+\dfrac{c^{2}}{a}\, db -\dfrac{dc}{a} \right ) \overset{g}{V_{c}}}
\end{align}
\]
\[
\mathbf{d\overset{g}{V_{b}}=-\dfrac{da}{a}\, \overset{g}{V_{b}}}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{d\overset{g}{V_{c}}=}&\mathbf{\left ( b\, da-a\, db\right ) \overset{g}{V_{a}}}\\
&\mathbf{\left ( \dfrac{b^{2}}{a}\, da-b\, db\right ) \overset{g}{V_{b}}}\\
&\mathbf{\left ( \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, da -c\, db\right ) \overset{g}{V_{c}}}\ \ \ \ (10.3.5)
\end{align}
\]
Ces relations permettent d'écrire une matrice de connexion :
\[
\mathbf{\overset{g}{\Gamma }=\,}\begin{bmatrix}
\mathbf{-\dfrac{(1+\, b\, c)}{a}\, da+ c\, db }&\mathbf{0}&\mathbf{ b\, da - a\,db }\\
\mathbf{-\dfrac{b\, (1+b\, c)}{a^{2}})\, da +\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, db}&\mathbf{-\dfrac{da}{a}}&\mathbf{\dfrac{b^{2}}{a}\, da-b\, db}\\
\mathbf{-c\, \dfrac{(1+\, b\, c)}{a^{2}}\, da+ \dfrac{c^{2}}{a}\, db-\dfrac{dc}{a}}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{(1+\, b\,c)}{a}\, da -c\, db }
\end{bmatrix}\ \ \ \ (10.3.6)
\]
Considérons les vecteurs \(\mathbf{\overset{d}{V_{i}} = \dfrac{\partial x}{\partial x^{i}}\, x^{-1}}\) qui sont dans l'algèbre de Lie et invariants par translation à droite.
Ces vecteurs sont donnés dans le paragraphe 9.1 :
\[
\mathbf{\overset {d}{V_{a}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}&\mathbf{-b}\\
\mathbf{-c\, \dfrac{c\, (1+b\, c)}{a^{2}}}&\mathbf{-\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\overset {d}{V_{b}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{-c}&\mathbf{a}\\
\mathbf{-\dfrac{c^{2}}{a}}&\mathbf{c}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\overset {d}{V_{c}} =}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{\dfrac{1}{a}}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (10.3.7)
\]
Introduisons la base fixe de l'algèbre de Lie :
\[
\begin{cases}
\mathbf{\overset{d}{V_{a}} = \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, H-b\, X+\dfrac{c\, (1+b\,c)}{a^{2}}\, Y}\\
\mathbf{\overset{d}{V_{b}}=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -c\,H+\ a\, X\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\dfrac{c^{2}}{a} Y}\\
\mathbf{\overset{d}{V_{c}}=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{1}{a} Y}\ \ \ \ (10.3.8)
\end{cases}
\]
Inversons le système précédent :
\[
\begin{cases}
\mathbf{H =a\, \overset{d}{V_{a}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +b\, \overset{d}{V_{b}}\ \ -c\, \overset{d}{V_{c}}}\\
\mathbf{X =c\,\overset{d}{V_{a}} \ \ +\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}\overset{d}{V_{b}}}\\
\mathbf{Y =\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\,\overset{d}{V_{c}}}\ \ \ \ (10.3.9)
\end{cases}
\]
Différentions les relations 10.3.8 et exprimons le tout avec la base mobile :
\[
\begin{align}
\mathbf{d\overset{d}{V_{a}}=}&\mathbf{\left (-\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, da +b\, dc\right ) \overset{d}{V_{a}}}\\
&\mathbf{\left ( -\dfrac{b\, (1+b\, c)}{a^{2}}\, da- \dfrac{db}{a}+\dfrac{b^{2}}{a}\, dc \right ) \overset{d}{V_{b}}}\\
&\mathbf{\left (-\dfrac{c\, (1+b\, c)}{a^{2}}\, da+\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, dc \right ) \overset{d}{V_{c}}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{d\overset{d}{V_{b}}=}&\mathbf{(c\, da-a\, dc) \overset{d}{V_{a}}}\\
&\mathbf{\left (\dfrac{b\, (1+b\, c)}{a}\, da- b\, dc \right ) \overset{d}{V_{b}}}\\
&\mathbf{\left (\dfrac{c^{2}}{a}\, da-c\, dc \right ) \overset{d}{V_{c}}}
\end{align}
\]
\[
\mathbf{d\overset{d}{V_{c}}=-\dfrac{da}{a} \overset{d}{V_{c}}}\ \ \ \ (10.3.10)
\]
Ces relations permettent d'écrire une matrice de connexion :
\[
\mathbf{\overset{d}{\Gamma }=\,}\begin{bmatrix}
\mathbf{-\dfrac{(1+\, b\, c)}{a}\, da+ b\, dc }&\mathbf{c\, da-a\, dc}&\mathbf{0}\\
\mathbf{-\dfrac{b\, (1+b\, c)}{a^{2}})\, da -\dfrac{db}{a}+\dfrac{b^{2}}{a}\, dc}&\mathbf{\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, da-b\, dc}&\mathbf{0}\\
\mathbf{-c\, \dfrac{(1+\, b\, c)}{a^{2}}\, da+ \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, dc}&\mathbf{\dfrac{c^{2}}{a}\, da-c\, dc}&\mathbf{-\dfrac{da}{a}}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (10.3.11)
\]
Remarques
-La grandeur \(\mathbf{\left (\overset{g}{\Gamma}+ \overset{d}{\Gamma}\right )/2}\) est égale à la connexion de Levi-Civita. -La courbure de chacune des deux connexions est nulle car l'algèbre de Lie est un espace plat.
Retour vers le haut de page11.1 Obtention du Laplacien
Dans le paragraphe 8 nous avons affirmé que \(\mathbf{\Delta =\dfrac{1}{2} trace(X^{2})}\), ou \(\mathbf{X}\) est l'opérateur de Dirac, soit :
\[
\mathbf{\Delta =\dfrac{1}{2}\, trace}\left (\begin{bmatrix}
\mathbf{X_{a}}&\mathbf{2\, X_{c}}\\
\mathbf{2\, X_{b}}&\mathbf{-X_{a}}\\
\end{bmatrix}\,\begin{bmatrix}
\mathbf{X_{a}}&\mathbf{2\, X_{c}}\\
\mathbf{2\, X_{b}}&\mathbf{-X_{a}}\\
\end{bmatrix}\right )\ \ \ \ (11.1.1)
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{\Delta = X_{a}^{2}+2\, X_{b}\, X_{c}+2\, X_{c}\, X_{b}}\ \ \ \ (11.1.2)
\]
Avec les coordonnées :
\[
\begin{align}
\mathbf{\Delta = \,}&\mathbf{a^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial a^{2}}+b^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial b^{2}}+c^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial c^{2}}}\\
&\mathbf{+2\, a\, b \, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial a \, \partial b}+2\, a\, c \, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial a \, \partial c}+2\, (2+b\, c)\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial b \, \partial c}}\\
&\mathbf{+3\, a\, \dfrac{\partial}{\partial a}+3\, b\, \dfrac{\partial}{\partial b}+3\, c\, \dfrac{\partial}{\partial c}}\ \ \ \ (11.1.3)
\end{align}
\]
L'utilisation d'un formulaire donne le même résultat.
11.2 Evolution des positions
Si \(\mathbf{F}\) est une fonction ou un opérateur différentiel alors sa différentielle de Lie calquée sur la mécanique quantique est :
\[
\mathbf{\widehat{dF} = \dfrac{1}{2}\, [\Delta ,F]}\ \ \ \ (11.2.1)
\]
Il est facile de montrer que les opérateurs différentiels invariants(gauche comme droite) n'évoluent pas.
Pour les coordonnées de base les calculs sont simples et rapides, vous trouverez :
\[
\mathbf{\widehat{da} =a^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial a}+a\,b\, \dfrac{\partial}{\partial b}+a\,c\, \dfrac{\partial}{\partial c}+\dfrac{3}{2}\, a}\\
\mathbf{\widehat{db} =a\, b\,\dfrac{\partial}{\partial a}+b^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial b}+(2+b\, c)\, \dfrac{\partial}{\partial c}+\dfrac{3}{2}\, b }\\
\mathbf{\widehat{dc} =a\, c\,\dfrac{\partial}{\partial a}+(2+b\, c)\, \dfrac{\partial}{\partial b}+c^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial c}+\dfrac{3}{2}\, c}\ \ \ \ (11.2.2)
\]
Les relations (11.2.2) nous incitent à quantifier symétriquement les formes, par exemple :
\[
\mathbf{\widehat{\omega ^{a}}=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, \widehat{da}-b\, \widehat{dc}+\widehat{da}\,\dfrac{(1+b\, c)}{a}-\widehat{dc}\, b \right )}\, \ \ \ (11.2.3)
\]
Après quelques calculs faciles mais un peu longuets :
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{\omega ^{a}}}&=\mathbf{X_{a}}\\
\mathbf{\widehat{\omega ^{b}}}&=\mathbf{2\,X_{c}}\\
\mathbf{\widehat{\omega ^{c}}}&=\mathbf{2\,X_{b}}\, \ \ \ (11.2.4)
\end{align}
\]
Il est tentant de quantifier symétriquement la distance carrée exprimée en fonction des formes invariantes.
Commençons par symétriser classiquement(ce qui ne change rien pour l'instant) :
\[
\mathbf{ds^{2}=\, \omega ^{a\, ^{2}} +\dfrac{1}{2} \left ( \omega ^{b}\, \omega ^{c} + \omega ^{c}\, \omega ^{b} \right )}
\]
Faisons la quantification de chaque forme dans l'expression précédente :
\[
\mathbf{\widehat{ds^{2}}=\, \, \widehat{\omega ^{a}}^{2} +\dfrac{1}{2} \left ( \widehat{\omega ^{b}}\, \widehat{\omega ^{c}} + \widehat{\omega ^{c}}\, \widehat{\omega ^{b}} \right )}
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{\widehat{ds^{2}}=\, \, X_{a}^{2}+\dfrac{1}{2} \left ( 2\, X_{c}\, 2\, X_{b} +2\, X_{b}\, 2\, X_{c} \right )}
\]
Après simplification par 2 on retrouve bien le Laplacien exprimé en (11.1.2).
11.3 Montée et descente des indices
Rappelons l'expression des tenseurs métriques fixes :
\[\mathbf{[g_{ij}]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\, \ \ \ (11.3.1)\]
et
\[\mathbf{[g^{ij}]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{2}\\
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\, \ \ (11.3.2)\]
La matrice (11.3.1) sert à faire descendre les indices, par exemple :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{\overset{g}{\omega _{a}}}\\
\mathbf{\overset{g}{\omega _{b}}}\\
\mathbf{\overset{g}{\omega _{c}}}
\end{bmatrix}\, =
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{\overset{g}{\omega ^{a}}}\\
\mathbf{\overset{g}{\omega ^{b}}}\\
\mathbf{\overset{g}{\omega ^{c}}}
\end{bmatrix}\, \ \ \ (11.3.3)
\]
La comparaison de (11.) et (3.2.4) implique \(\mathbf{ds^{2}=\omega ^{a}\, \omega _{a}+\omega ^{b}\, \omega _{b}+\omega ^{c}\, \omega _{c}}\) . (11.3.4)
L'expression ci-dessus est plus simple, nous avons oublié l'indice gauche car le résultat est le même avec les formes à droite.
La matrice (11.3.2) sert à faire monter les indices, par exemple :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{\overset{g}{X^{a}}}\\
\mathbf{\overset{g}{X^{b}}}\\
\mathbf{\overset{g}{X^{c}}}
\end{bmatrix}\, =
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{2}\\
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{\overset{g}{X_{a}}}\\
\mathbf{\overset{g}{X_{b}}}\\
\mathbf{\overset{g}{X_{c}}}
\end{bmatrix}\, \ \ \ (11.3.5)
\]
La comparaison de (11.3.5) et (11.1.2) implique \(\mathbf{\Delta = X^{a}\, X_{a}+X^{b}\, X_{b}+X^{c}\, X_{c}}\) . (11.3.6)
L'expression ci-dessus est plus simple, nous avons oublié l'indice gauche car le résultat est le même avec les opérateurs à droite.
11.4 Séquence gradient-divergence-Laplacien
Rappelons les deux tenseurs métriques :
\[
\mathbf{g=-\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}\,da\otimes da + \dfrac{c}{2\,a}\,da\otimes db +\dfrac{c}{2\,a}\,db\otimes da
+\dfrac{b}{2\, a} da\otimes dc + \dfrac{b}{2\, a} dc\otimes da -\dfrac{1}{2} db\otimes dc -\dfrac{1}{2} dc\otimes db)}\ \ \ \ (11.4.1)
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{g^{-1}}
&\mathbf{ = a^{2}\, \dfrac{\partial}{\partial a}\otimes \dfrac{\partial}{\partial a}
+ a\,b\, \dfrac{\partial}{\partial a}\otimes \dfrac{\partial}{\partial b}
+ a\,c\, \dfrac{\partial}{\partial a}\otimes \dfrac{\partial}{\partial c}}\\
&\mathbf{ = + a\,b\, \dfrac{\partial}{\partial b}\otimes \dfrac{\partial}{\partial a}
+ b^{2}\, \dfrac{\partial}{\partial b}\otimes \dfrac{\partial}{\partial b}
+(2 + b\,c)\, \dfrac{\partial}{\partial b}\otimes \dfrac{\partial}{\partial c}}\\
&\mathbf{ = + a\,c\, \dfrac{\partial}{\partial c}\otimes \dfrac{\partial}{\partial a}
+(2 + b\,c)\, \dfrac{\partial}{\partial c}\otimes \dfrac{\partial}{\partial b}
+ c^{2}\, \dfrac{\partial}{\partial c}\otimes \dfrac{\partial}{\partial c}}\ \ \ \ (11.4.2)
\end{align}
\]
La forme gradient de la fonction \(\mathbf{F}\) est par définition la différentielle de \(\mathbf{F}\) :
\[
\mathbf{grad(F)= \dfrac{\partial F}{\partial a}\, da + \dfrac{\partial F}{\partial b}\, db + \dfrac{\partial F}{\partial c}\, dc}\ \ \ \ (11.4.3)
\]
L'opérateur gradient de la fonction \(\mathbf{F}\) s'obtient en faisant le produit intérieur :
\[
\mathbf{\widehat {grad(F)} = \big\langle grad(F)\, | g^{-1} \big\rangle}\ \ \ \ (11.4.4)
\]
Le calcul donne :
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat {grad(F)}}
&\mathbf{= \ \ \ \dfrac{\partial F}{\partial a} \, \left ( a^{2} \, \dfrac{\partial}{\partial a} +a\, b \, \dfrac{\partial}{\partial b} + a\, c \, \dfrac{\partial}{\partial c}\right )}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{\partial F}{\partial b} \, \left ( b^{2} \, \dfrac{\partial}{\partial b} +a\, b \, \dfrac{\partial}{\partial a} + (2+b\, c )\, \dfrac{\partial}{\partial c}\right )}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{\partial F}{\partial c} \, \left ( c^{2} \, \dfrac{\partial}{\partial c} +a\, c \, \dfrac{\partial}{\partial a} + (2+b\, c )\, \dfrac{\partial}{\partial b}\right )}\\
&\mathbf{= \ \ \ \ \left ( a^{2} \, \dfrac{\partial F}{\partial a} +a\, b \, \dfrac{\partial F}{\partial b} + a\, c \, \dfrac{\partial F}{\partial c}\right ) \, \dfrac{\partial}{\partial a} }\\
&\mathbf{\ \ \ +\left ( a \, b \, \dfrac{\partial F}{\partial a} + b^{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial b} + (2+b \, c) \, \dfrac{\partial F}{\partial c}\right ) \, \dfrac{\partial}{\partial b} }\\
&\mathbf{\ \ \ +\left ( a \, c \, \dfrac{\partial F}{\partial a} + (2+b\, c) \, \dfrac{\partial F}{\partial b} + c^{2} \, \dfrac{\partial F}{\partial c}\right ) \, \dfrac{\partial}{\partial c}}\ \ \ \ (11.4.5)
\end{align}
\]
La divergence d'un vecteur \(\mathbf{X}\) est définie par :
\[
\mathbf{div(X) = \dfrac{1}{\sqrt{|d\acute {e}t(g)|}} \, \dfrac{\partial}{\partial x^{i}}\left ( X^{i} \sqrt{|d\acute {e}t(g)|}\,\right )}\ \ \ \ \ \ \ \ (11.4.6)
\]
En combinant divergence et gradient on obtient le Laplacien :
\[
\mathbf{\Delta (F) = div \left (\widehat {grad(F)} \right )}\ \ \ \ \ \ \ \ (11.4.7)
\]
Ce qui donne :
\[
\begin{align}
\mathbf{\Delta (F)}
&\mathbf{=\ \ \ a\, \dfrac{\partial}{\partial a}\, \left ( a\, \dfrac{\partial F}{\partial a} +b\, \dfrac{\partial F}{\partial b} +c\, \dfrac{\partial F}{\partial c} \right )}\\
&\mathbf{ \ \ +a\, \dfrac{\partial}{\partial b}\, \left ( b\, \dfrac{\partial F}{\partial a} + \dfrac{b^{2}}{a}\, \dfrac{\partial F}{\partial b} + \dfrac{(2+b\, c)}{a}\, \dfrac{\partial F}{\partial c} \right )}\\
&\mathbf{ \ \ +a\, \dfrac{\partial}{\partial c}\, \left ( c\, \dfrac{\partial F}{\partial a} + \dfrac{(2+b\, c)}{a}\, \dfrac{\partial F}{\partial b} + \dfrac{c^{2}}{a}\, \dfrac{\partial F}{\partial c} \right )}\ \ \ \ \ \ \ \ (11.4.8)
\end{align}
\]
On obtient finalement :
\[
\begin{align}
\mathbf{\Delta (F) = \,}
&\mathbf{\ \ a^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial a^{2}}+b^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial b^{2}}+c^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial c^{2}}}\\
&\mathbf{+2\, a\, b \, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial a \, \partial b}+2\, a\, c \, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial a \, \partial c}+2\, (2+b\, c)\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial b \, \partial c}}\\
&\mathbf{+3\, a\, \dfrac{\partial}{\partial a}+3\, b\, \dfrac{\partial}{\partial b}+3\, c\, \dfrac{\partial}{\partial c}}\ \ \ \ (11.4.9)
\end{align}
\]
\(\mathbf{\sqrt{|d\acute {e}t(g)|}=\dfrac{1}{|a|}}\) mais l'utilisation de la valeur absolue ne change rien au résultat final.
La divergence des vecteurs invariants par translation est nulle.
Si \(\mathbf{t}\) est la trace de la matrice \(\mathbf{x}\) alors \(\mathbf{\Delta(t)= 3\, t}\).
11.5 Evolution par l'opérateur de Dirac
Au paragraphe 8 est défini l'opérateur de Dirac, son expression est :
\[
\mathbf{D =}\begin{bmatrix}
\mathbf{X_{a}}&\mathbf{2\, X_{c}}\\
\mathbf{2\, X_{b}}&\mathbf{-X_{a}}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (11.5.1)
\]
Utilisons la notation traditionnelle des matrices gamma :
\[
\mathbf{D=\gamma^{a}\, \dfrac{\partial}{\partial a}+\,\gamma^{b}\, \dfrac{\partial}{\partial b}+\,\gamma^{c}\, \dfrac{\partial}{\partial c}} \ \ \ \ (11.5.2)
\]
L'expression des matrices gamma est :
\[
\mathbf{\gamma^{a}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{-a}&\mathbf{-2\, b}\\
\mathbf{0}&\mathbf{a}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\gamma^{b}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{b}&\mathbf{0}\\
\mathbf{-2\, a}&\mathbf{-b}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\gamma^{c}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{-c}&\mathbf{-2\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{c}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (11.5.3)
\]
Définissons la différentielle quantique de \(\mathbf{u}\) :
\[
\mathbf{\widehat{du}=\dfrac{1}{2}\, \left [D,u \right ]}\ \ \ \ (11.5.4)
\]
alors
\[
\mathbf{\widehat{da}=\dfrac{1}{2}\, \gamma^{a}\ \ \ \ \ \ \widehat{db}=\dfrac{1}{2}\, \gamma^{b}\ \ \ \ \ \ \widehat{dc}=\dfrac{1}{2}\, \gamma^{c} }\ \ \ \ (11.5.5)
\]
Nous pouvons maintenant quantifier les formes(ici invariantes à gauche) :
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{\omega ^{a}}}
&\mathbf{=\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, \widehat{da}-b\, \widehat{dc}}\\
&\mathbf{=\dfrac{(1+b\,c)}{a}\begin{bmatrix}\mathbf{-\dfrac{a}{2}}&\mathbf{-b}\\ \mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{a}{2}}\end{bmatrix}-b\, \begin{bmatrix}\mathbf{-\dfrac{c}{2}}&\mathbf{-\dfrac{(1+b\, c)}{a}}\\ \mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{c}{2}}\end{bmatrix}}\\
&\mathbf{=}\begin{bmatrix}\mathbf{-\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}\\ \mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\end{bmatrix}\\
&\mathbf{=-\dfrac{1}{2}\, H}\\
&\mathbf{=H^{\star}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{\omega ^{b}}}
&\mathbf{=\dfrac{b\,(1+b\, c)}{a^{2}}\, \widehat{da}+\, \dfrac{\widehat{db}}{a}-\dfrac{b^{2}}{a}\, \widehat{dc}}\\
&\mathbf{=\dfrac{b\,(1+b\,c)}{a^{2}}\begin{bmatrix}\mathbf{-\dfrac{a}{2}}&\mathbf{-b}\\ \mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{a}{2}}\end{bmatrix}+\mathbf{\dfrac{1}{a}}\, \begin{bmatrix}\mathbf{\dfrac{b}{2}}&\mathbf{0}\\ \mathbf{-a}&\mathbf{-\dfrac{b}{2}}\end{bmatrix}\mathbf{-\dfrac{b^{2}}{a}}\begin{bmatrix}\mathbf{-\dfrac{c}{2}}&\mathbf{-\dfrac{(1+b\, c)}{a}}\\ \mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{c}{2}}\end{bmatrix}}\\
&\mathbf{=}\begin{bmatrix}\mathbf{0}&\mathbf{0}\\ \mathbf{-1}&\mathbf{0}\end{bmatrix}\\
&\mathbf{=-Y}\\
&\mathbf{=X^{\star}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{\omega ^{c}}}
&\mathbf{=-c\, \widehat{da}+a\, \widehat{dc}}\\
&\mathbf{=-c\begin{bmatrix}\mathbf{-\dfrac{a}{2}}&\mathbf{-b}\\ \mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{a}{2}}\end{bmatrix}+a\, \begin{bmatrix}\mathbf{-\dfrac{c}{2}}&\mathbf{-\dfrac{(1+b\, c)}{a}}\\ \mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{c}{2}}\end{bmatrix}}\\
&\mathbf{=}\begin{bmatrix}\mathbf{0}&\mathbf{-1}\\ \mathbf{0}&\mathbf{0}\end{bmatrix}\\
&\mathbf{=-X}\\
&\mathbf{=Y^{\star}}\ \ \ \ (11.5.6)
\end{align}
\]
On retrouve l'algèbre de Lie en faisant descendre les indices.
Remarques
-On peut aussi utiliser \(\mathbf{\Delta = d\, \delta + \delta \, d}\) ou \(\mathbf{d}\) et \(\mathbf{\delta}\) sont respectivement la différentielle extérieure et la codifférentielle extérieure.
-Formellement \(\mathbf{\widehat {\omega}=X}\) avec indices en haut pour les formes et indices en bas pour les opérateurs.
-Le même travail se fait avec les grandeurs invariantes par translation à droite.
-Les opérateurs du groupe commutent avec le Laplacien.
-La trace de la matrice de base n'évolue pas.
12.1 Evolution des formes
Rappelons la distance carrée vue dans le troisième paragraphe :
\[
\mathbf{ds^{2}=\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}\,da^{2}-\dfrac{c}{a}\,da\,db-\dfrac{b}{a}\,da\,dc + db\,dc}\ \ \ (12.1.1)
\]
Par analogie avec la mécanique du point matériel nous définissons les formes impulsion par :
\[
\begin{align}
\mathbf{P_{a}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ds^{2}}{\partial da}=}&\mathbf{\dfrac{(1+b\, c)}{a^{2}}\, da-\dfrac{c}{2\, a}\, db-\dfrac{b}{2\, a}\, dc}&\\
\mathbf{P_{b}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ds^{2}}{\partial db}=}&\mathbf{-\dfrac{c}{2\, a}\, da+\dfrac{1}{2}\,dc}&\\
\mathbf{P_{c}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ds^{2}}{\partial da}=}&\mathbf{-\dfrac{b}{2\, a}\, da+\dfrac{1}{2}\, db}&\ \ \ \ \ \ \ \ (12.1.2)
\end{align}
\]
On peut lire les formes impulsion sur les lignes de la matrice du tenseur métrique \(\mathbf{g}\) :
\[
\mathbf{[g]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{-c}{2\,a}}&\mathbf{\dfrac{-b}{2\, a}}\\
\mathbf{\dfrac{-c}{2\,a}}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{\dfrac{-b}{2\, a}}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ (12.1.3)
\]
L'inversion des relations (12.1.2) permet d'exprimer \(\mathbf{(da,db,dc)}\) en fonction de \(\mathbf{\left (P_{a},P_{b},P_{c}\right )}\).
Nous pouvons maintenant exprimer les formes du groupe en fonction des formes impulsion :
\[
\begin{align}
\mathbf{\overset{g}{\omega}_{a}=}&\mathbf{a\, P_{a}}&\mathbf{-b\, P_{b}}&\mathbf{\ \ +c\, P_{c}}&\\
\mathbf{\overset{g}{\omega}_{b}=}&\mathbf{2\, b\, P_{a}}&\mathbf{}&\mathbf{\ \ +\dfrac{2\,(1+b\, c)}{a}\, P_{c}}&\\
\mathbf{\overset{g}{\omega}_{c}=}&\mathbf{}&\mathbf{2\, a\, P_{b}}&\mathbf{}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12.1.4)
\end{align}
\]
Le calcul des accolades de Poisson donne :
\[
\mathbf{\{ \overset{g}{\omega^{a}},\overset{g}{\omega^{b}}\}=2\, \overset{g}{\omega^{b}}}\\
\mathbf{\{ \overset{g}{\omega^{a}},\overset{c}{\omega^{b}}\}=-2\, \overset{g}{\omega^{c}}}\\
\mathbf{\{ \overset{g}{\omega^{b}},\overset{g}{\omega^{c}}\}=4\,\overset{g}{\omega^{a}}}\ \ \ \ \ (12.1.5)
\]
Si on fait descendre les indices, on retrouve les relations du deuxième paragraphe.
L'opérateur d'évolution des fonctions ou formes est \(\mathbf{\dfrac{g}{2}}\) qui se calcule bien en fonction des positions et des impulsions.
La différentielle de Poisson de la grandeur \(\mathbf{F}\) est ainsi :
\[
\mathbf{dF=\, \{F ,\, \dfrac{g}{2} \}}\\
\mathbf{dF=\, \{F ,\, \dfrac{a^{2}}{2}\, P_{a}^{\,\, 2} +\dfrac{b^{2}}{2}\, P_{b}^{\,\, 2} + \dfrac{c^{2}}{2}\, P_{c}^{\,\, 2}
+\, a\, b\, P_{a}\, P_{b}+\, a\, c\, P_{a}\, P_{c}+\, (2+b\, c)\, \, P_{b}\, P_{c} \}}\ \ \ \ \ (12.1.6)
\]
Remarques
-Nous avons pris la définition suivante pour le calcul des accolades de Poisson :
\[
\mathbf{\{F,G\}= \sum_{\alpha =1}^{\alpha =N} \left ( \dfrac{\partial F}{\partial q^{\alpha}}\, \dfrac{\partial G}{\partial p_{\alpha}}- \dfrac{\partial F}{\partial p_{\alpha}}\, \dfrac{\partial G}{\partial q^{\alpha}} \right )}
\ \ \ \ \ (12.1.7)\]
-J'invite le lecteur à vérifier que les formes invariantes n'évoluent pas, soit \(\mathbf{d\omega ^{i} =0}\).
-Il faudrait clarifier un peu pour calculer la différentielle de Poisson de formes de grade supérieur à 1.
-L'opérateur d'évolution est du type \(\mathbf{\dfrac{1}{2}\, v^{\intercal}\, [g]\, v}\) ou bien \(\mathbf{\dfrac{1}{2}\, p^{\intercal}\, [g^{-1}]\, p}\).
12.2 Evolution des opérateurs
Sans les produits tensoriels :
\[
\mathbf{g^{-1}=a^{2}\,\dfrac{\partial ^{2}}{\partial a ^{2}}+2\, a\, b\, \dfrac{\partial}{\partial a}\, \dfrac{\partial}{\partial b}+2\, a\, c\, \dfrac{\partial}{\partial a}\, \dfrac{\partial}{\partial c}
+b^{2}\,\dfrac{\partial ^{2}}{\partial b ^{2}}+2\, (2+b\, c)\dfrac{\partial}{\partial b}\, \dfrac{\partial}{\partial c}+c^{2}\,\dfrac{\partial ^{2}}{\partial c ^{2}}}\ \ \ (12.2.1)
\]
Nous sommes en mesure d'écrire les opérateurs impulsion :
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{P^{a}}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial g^{-1}}{\partial \dfrac{\partial}{\partial a}}=}&\mathbf{-a^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial a}-a\,b\,\dfrac{\partial}{\partial b}-a\,c\,\dfrac{\partial}{\partial c}}&\\
\mathbf{\widehat{P^{b}}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial g^{-1}}{\partial \dfrac{\partial}{\partial b}}=}&\mathbf{-a\,b\,\dfrac{\partial}{\partial a}-b^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial b}-(2+b\,c)\, \dfrac{\partial}{\partial c}}&\\
\mathbf{\widehat{P^{c}}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial g^{-1}}{\partial \dfrac{\partial}{\partial c}}=}&\mathbf{-a\,c\,\dfrac{\partial}{\partial a}-(2+b\,c)\, \dfrac{\partial}{\partial b}-c^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial c}}&\ \ \ \ \ \ \ \ (12.2.2)
\end{align}
\]
On peut lire les opérateurs impulsion sur les lignes de la matrice inverse du tenseur métrique :
\[\mathbf{[g]^{-1}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{a\, c}&\mathbf{(2+b\,c)}&\mathbf{c^{2}}\\
\end{bmatrix}\ \ (12.2.3)
\]
En faisant descendre les indices :
\[
\mathbf{\widehat{P_{a}}=g_{a\alpha}\,\widehat{P^{\alpha}}=-\dfrac{\partial}{\partial a}}\\
\mathbf{\widehat{P_{b}}=g_{b\alpha}\,\widehat{P^{\alpha}}=-\dfrac{\partial}{\partial b}}\\
\mathbf{\widehat{P_{c}}=g_{c\alpha}\,\widehat{P^{\alpha}}=-\dfrac{\partial}{\partial c}}\ \ \ \ \ (12.2.4)
\]
Nous pouvons maintenant exprimer les opérateurs du groupe en fonction des opérateurs impulsion :
\[
\mathbf{\widehat{\overset{g}{X}_{a}}=-\,a\, \widehat{P_{a}}+b\,\widehat{P_{b}} -c\, \widehat{P_{c}}}\\
\mathbf{\widehat{\overset{g}{X}_{b}}=-\,a\, \widehat{P_{b}}}\\
\mathbf{\widehat{\overset{g}{X}_{c}}=-\,b\,\widehat{P_{a}}-\dfrac{(1+b\, c)}{a}\,\widehat{P_{c}} }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12.2.5)
\]
Le calcul des accolades de Poisson donne :
\[
\mathbf{\{ \overset{g}{X_{a}},\overset{g}{X_{b}}\}=2\, \overset{g}{X_{b}}}\\
\mathbf{\{ \overset{g}{X_{a}},\overset{g}{X_{c}}\}=-2\, \overset{g}{X_{c}}}\\
\mathbf{\{ \overset{g}{X_{b}},\overset{g}{X_{c}}\}=\,\overset{g}{X_{a}}}\ \ \ \ \ (12.2.6)
\]
La différentielle de Poisson de la grandeur \(\mathbf{F}\) est ainsi :
\[
\mathbf{dF=\, \{F ,\, -\dfrac{g^{-1}}{2} \}}\\
\mathbf{dF=\, \{F ,\, -\dfrac{a^{2}}{2}\, P_{a}^{\,\, 2} -\dfrac{b^{2}}{2}\, P_{b}^{\,\, 2} - \dfrac{c^{2}}{2}\, P_{c}^{\,\, 2}
-\, a\, b\, P_{a}\, P_{b}-\, a\, c\, P_{a}\, P_{c}-\, (2+b\, c)\, \, P_{b}\, P_{c} \}}\ \ \ \ \ (12.2.7)
\]
12.3 Différentielle des opérateurs
Si on écrivait un dictionnaire Lie-Poisson, il y aurait une case manquante portant sur la différentielle des opérateurs.
Pour ce faire décomposons un opérateur en fonction des impulsions :
\[
\mathbf{\widehat{X_{i}} = \, X_{j}^{i}\, \widehat{P^{j}}}\ \ \ \ \ (12.3.1)
\]
La différentielle notée \(\mathbf{\delta}\)(car on diminue le grade) sera définie par :
\[
\begin{align}
\mathbf{\delta \,\widehat{X_{i}}}
&\mathbf{ = \,\delta \, X_{j}^{i}\, \wedge \widehat{P^{j}}}\\
&\mathbf{ = \left ( \dfrac{\partial X_{j}^{i}}{\partial x^{k}}\, \widehat{\delta \, x^{k}}\right ) \wedge \widehat{P^{j}}}\ \ \ \ \ (12.3.2)
\end{align}
\]
La quantité \(\mathbf{\widehat{\delta \, x^{k}}}\) se calcule comme suit :
\[
\mathbf{\widehat{\delta \, x^{k}}\, = \{ x^{k},\, -\dfrac{1}{2}\, g^{-1} \}}\ \ \ \ \ (12.3.3)
\]
Au final il faudra exprimer (12.16) sous forme d'une somme de termes du type :
\[
\mathbf{\widehat{X^{u}}\, \wedge \, \widehat{X^{v}}}
\]
On retrouve bien des relations type Maurer-Cartan avec indices supérieurs ; Bon courage pour les vérifications.
Remarques
-J'invite le lecteur à vérifier que les opérateurs invariants ainsi que les formes invariantes n'évoluent pas.
-Le choix du signe moins dans (12.3.3) permet d'obtenir les mêmes signes que dans le deuxième paragraphe.
13.1 Conjugaison de Hodge avec le tenseur mobile
Rappelons l'expression matricielle du tenseur métrique \(\mathbf{g}\) (indices en bas) et de son inverse \(\mathbf{g^{-1}}\) (indices en haut) :
\[\mathbf{[g]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{-c}{2\,a}}&\mathbf{\dfrac{-b}{2\, a}}\\
\mathbf{\dfrac{-c}{2\,a}}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{\dfrac{-b}{2\, a}}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (13.1.1)\]
Avec \(\mathbf{d\acute{e}t(g)=\, -\dfrac{1}{4\, a^{2}}}\) et \(\mathbf{\sqrt{-d\acute{e}t(g)}=\dfrac{1}{2\, |a|}}\) .
\[\mathbf{[g]^{-1}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{a\, c}&\mathbf{(2+b\,c)}&\mathbf{c^{2}}\\
\end{bmatrix}\ \ (13.1.2)
\]
Avec \(\mathbf{d\acute{e}t(g^{-1})=\, -4\, a^{2}}\) et \(\mathbf{\sqrt{-d\acute{e}t(g^{-1})}=\, 2\, |a|}\) .
Nous aurons besoin de développer des déterminants tensoriels, donnons un petit exemple :
\[
\begin{vmatrix}
\mathbf{du}&\mathbf{du}\\
\mathbf{dv}&\mathbf{dv}
\end{vmatrix}
\mathbf{=\, du\otimes dv-\,dv\otimes du\, =\ du\, \wedge\, dv }\ \ (13.1.3)
\]
Le développement s'est fait par rapport à la première colonne.
Ce qui suit est une histoire sans paroles dont le sujet est l'opération étoile de Hodge portant sur les différentielles de base.
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (1)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{da}&\mathbf{da}&\mathbf{da}\\
\mathbf{db}&\mathbf{db}&\mathbf{db}\\
\mathbf{dc}&\mathbf{dc}&\mathbf{dc}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (1)}&\mathbf{=\, \dfrac{1}{2\, |a|}\, da\, \wedge \, db\, \wedge \, dc}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (da)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{da}&\mathbf{da}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{db}&\mathbf{db}\\
\mathbf{a\, c}&\mathbf{dc}&\mathbf{dc}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (da)}&\mathbf{=\, \dfrac{a\, c}{2\, |a|}\, da \wedge db -\, \dfrac{a\, b}{2\, |a|}\, da \wedge dc + \dfrac{|a|}{2}\, db \wedge dc }
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (db)}&\mathbf{=\,-\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{da}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{da}\\
\mathbf{db}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{db}\\
\mathbf{dc}&\mathbf{(2+b\, c)}&\mathbf{dc}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (db)}&\mathbf{=\, \dfrac{(2+b\, c)}{2\, |a|}\, da \wedge db -\, \dfrac{b^{2}}{2\, |a|}\, da \wedge dc + \dfrac{a\, b}{2\, |a|}\, db \wedge dc }
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (dc)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{da}&\mathbf{da}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{db}&\mathbf{db}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{dc}&\mathbf{dc}&\mathbf{c^{2}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (dc)}&\mathbf{=\, \dfrac{c^{2}}{2\, |a|}\, da \wedge db -\, \dfrac{(2+b\, c)}{2\, |a|}\, da \wedge dc + \dfrac{a\, c}{2\, |a|}\, db \wedge dc }
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (da \wedge db)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{da}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{db}\\
\mathbf{a\, c}&\mathbf{(2+b\, c)}&\mathbf{dc}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (da \wedge db)}&\mathbf{=\, \dfrac{a\, b}{|a|}\, da -\, |a|\, db}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (db \wedge dc)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{da}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{db}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{dc}&\mathbf{(2+b\, c)}&\mathbf{c^{2}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (db \wedge dc)}&\mathbf{=\, -\dfrac{2\, (1+ b\, c)}{|a|}\, da +\, \dfrac{a\, c}{|a|}\, db +\dfrac{a\, b}{|a|}\, dc}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (da \wedge dc)}&\mathbf{=\,-\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{da}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{db}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{a\,c}&\mathbf{dc}&\mathbf{c^{2}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (da \wedge dc)}&\mathbf{=\, -\dfrac{a\, c}{|a|}\, da +\, |a|\, dc}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (da \wedge db \wedge dc)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{a\, c}&\mathbf{(2+b\,c)}&\mathbf{c^{2}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (da \wedge db \wedge dc)}&\mathbf{=\, -2\, |a| }\ \ (13.1.4)
\end{align}
\]
Les relations (13.1.4) permettent de calculer les conjuguées de Hodge des formes du groupe ; Mais la méthode du paragraphe suivant est plus expéditive.
Remarques
-Les déterminants avec colonnes identiques ne sont pas nuls car le développement se fait tensoriellement.
-On pourrait développer suivant les lignes à condition de transposer le déterminant différentiel initial.
La substitution par les éléments de \(\mathbf{g^{-1}}\) se ferait par lignes.
-Le signe moins introduit sous la racine n'est pas justifié dans ce travail.
-Le signe moins parfois introduit devant la racine est égal à \(\mathbf{(-1)^{k}}\) ou \(\mathbf{k}\) est le nombre
de transpositions permettant de regrouper le bloc différentiel à droite.
13.2 Conjugaison de Hodge avec le tenseur fixe
Rappelons l'expression matricielle du tenseur métrique \(\mathbf{g}\) (indices en bas) et de son inverse \(\mathbf{g^{-1}}\) (indices en haut) :
\[\mathbf{[g]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (13.2.1)\]
Avec \(\mathbf{d\acute{e}t(g)=\, -\dfrac{1}{4}}\) et \(\mathbf{\sqrt{-d\acute{e}t(g)}=\dfrac{1}{2}}\) .
\[\mathbf{[g]^{-1}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{2}\\
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (13.2.2)\]
Avec \(\mathbf{d\acute{e}t(g^{-1})=\, -4}\) et \(\mathbf{\sqrt{-d\acute{e}t(g^{-1})}=\, 2}\) .
Ce qui suit est une histoire sans paroles dont le sujet est l'opération étoile de Hodge portant sur les formes du groupe.
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (1)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{\omega ^{c}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (1)}&\mathbf{=\, \dfrac{1}{2}\, \omega ^{a}\, \wedge \, \omega ^{b}\, \wedge \, \omega ^{c}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{a})}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{\omega ^{c}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{a})}&\mathbf{=\, \dfrac{1}{2}\, \omega ^{b} \wedge \omega ^{c}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{b})}&\mathbf{=\,-\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{2}&\mathbf{\omega ^{c}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{b})}&\mathbf{=\, \omega ^{a} \wedge \omega ^{b}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{c})}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{0}\\
\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{2}\\
\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{0}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{c})}&\mathbf{=\, \omega ^{a} \wedge \omega ^{c}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{a} \wedge \omega ^{b})}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{\omega ^{c}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{a} \wedge \omega ^{b})}&\mathbf{=\, -\omega ^{b}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{b} \wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{0}&\mathbf{2}\\
\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{2}&\mathbf{0}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{b} \wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\, -\, 2\, \omega ^{a}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{a}\wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\,-\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{2}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{0}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{a} \wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\, \omega ^{c}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{a} \wedge \omega ^{b} \wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{2}\\
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{0}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{a} \wedge \omega ^{b} \wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\, -2}\ \ (13.2.3)
\end{align}
\]
13.3 La codifférentielle de Hodge
Si \(\mathbf{\delta}\) est la codifférentielle de la forme \(\mathbf{\mu}\) alors :
\[
\mathbf{\delta (\mu ) =\, (-1)^{n\, p +n+1}\star d \star (\mu)}\ \ (13.3.1)
\]
n=3 est la dimension de la variété SL(2,R)
p est le grade de la forme \(\mathbf{\mu}\)soit p=1 pour les \(\mathbf{\omega ^{i}}\) et p=2 pour les \(\mathbf{\omega ^{i}\wedge \omega ^{j}}\)
Nous utiliserons donc \(\mathbf{\delta\, =\, -\, \star d\, \star}\) pour les 1-formes ; On obtient :
\[\mathbf{\delta (\omega ^{i})=\, 0}\ \ (13.3.2)\]
Nous utiliserons donc \(\mathbf{\delta\, =\, \star d\, \star}\) pour les 2-formes ; On obtient :
\[\mathbf{\delta (\omega ^{a} \wedge \omega^{b})=\, -2\, \omega ^{b}}\]
\[\mathbf{\delta (\omega ^{b} \wedge \omega^{c})=\, -4\, \omega ^{a}}\]
\[\mathbf{\delta (\omega ^{a} \wedge \omega^{c})=\quad 2\, \omega ^{c}}\ \ (13.3.3)\]
Après descente des indices on retrouve bien les relations de commutation.
Nous sommes désormais en mesure de calculer le Laplacien \(\mathbf{\Delta}\) d'une forme \(\mathbf{\mu}\) défini par :
\[
\mathbf{\Delta (\mu ) =\, (\delta \,d+ d\,\delta)\, (\mu)}\ \ (13.3.4)
\]
Les \(\mathbf{\omega ^{i}}\) et les \(\mathbf{\omega ^{i}\wedge \omega ^{j}}\) sont invariantes per le Laplacien en accord avec le paragraphe 12.
Il nous reste à calculer le Laplacien d'une fonction \(\mathbf{F}\) , le terme en \(\mathbf{d\, \delta\, (F)}\)est nul. Il va rester :
\[
\begin{align}
\mathbf{\Delta (F)}&\mathbf{=\, \delta \,d\, (F)}\\
&\mathbf{=\, \delta \, (\dfrac{\partial F}{\partial a}\, da+\dfrac{\partial F}{\partial b}\, db+\dfrac{\partial F}{\partial c}\, dc)}\\
&\mathbf{=\, - \star d \star \, (\dfrac{\partial F}{\partial a}\, da+\dfrac{\partial F}{\partial b}\, db+\dfrac{\partial F}{\partial c}\, dc)}\ \ (13.3.5)
\end{align}
\]
Nous utiliserons a positif car le résultat final n'en dépend pas.
\[
\begin{align}
\mathbf{\Delta (F)}&\mathbf{=\, - \star d \left (\dfrac{\partial F}{\partial a}(\star (da))+\dfrac{\partial F}{\partial b}(\star (db))+\dfrac{\partial F}{\partial c}(\star (dc))\right )}\\
&\mathbf{=\, - \star d \left (\dfrac{\partial F}{\partial a}(\, \dfrac{c}{2}\, da \wedge db -\, \dfrac{b}{2}\, da \wedge dc + \dfrac{a}{2}\, db \wedge dc)\\
\quad \quad \quad \quad +\dfrac{\partial F}{\partial b}(\, \dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, da \wedge db -\, \dfrac{b^{2}}{2\, a}\, da \wedge dc + \dfrac{b}{2}\, db \wedge dc)\\
\quad \quad \quad \quad +\dfrac{\partial F}{\partial c}(\, \dfrac{c^{2}}{2\, a}\, da \wedge db -\, \dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, da \wedge dc + \dfrac{c}{2}\, db \wedge dc)\right )\ \ \ (13.3.6)}
\end{align}
\]
Il est plus judicieux de regrouper par 2-formes :
\[\mathbf{\Delta (F)=\, - \star d \left (\left (\dfrac{c}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial b}+\dfrac{c^{2}}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\right )\, da \wedge db\\
\hspace{7em}+\left (-\dfrac{b}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}-\dfrac{b^{2}}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial b} -\dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\right )\, da \wedge dc\\
\hspace{7em}+\left (\dfrac{a}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{b}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial b}+\dfrac{c}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\right )\, db \wedge dc \right )\ \ (13.3.7)}\]
Passons à l'étape de la différentielle extérieure des 2-formes :
\[
\begin{align}
\mathbf{\Delta (F)=}&\mathbf{- \star \left (\dfrac{1}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{b}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial b}+\dfrac{c}{a}\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\\
\hspace{2em}+\dfrac{c}{2}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial c\, \partial a}+\dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial c\, \partial b}+\dfrac{c^{2}}{2\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial c^{2}}\right)\, da \wedge db \wedge dc}\\
&\mathbf{-\star \left (\dfrac{1}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{b}{a}\, \dfrac{\partial F}{\partial b}+\dfrac{c}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\\
\hspace{2em}+\dfrac{b}{2}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial b\, \partial a}+\dfrac{b^{2}}{2\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial b^{2}}+\dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial b \partial c}\right)\, da \wedge db \wedge dc}\\
&\mathbf{-\star \left (\dfrac{1}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{a}{2}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial a^{2}}\right)\, da \wedge db \wedge dc}\ \ (13.3.8)
\end{align}
\]
Sachant que \(\mathbf{\star (da \wedge db \wedge dc) =\, -2\, a}\) on obtient par regroupement dans (13.3.8) le Laplacien explicité en (11.1.3).
13.4 Tentation
L'expression du Laplacien des formes fait penser à une aire de rectangle dont la base est \(\mathbf{\delta}\) et la hauteur \(\mathbf{d}\).
Pour raison de non commutation il faut symétriser :
\[
\mathbf{2\, A =\underbrace{\delta \, d+\, d\, \delta}_{\Delta}}\ \ (13.4.1)
\]
L'opérateur de Laplace peut être vu comme un carré d'opérateur de Dirac agissant sur des formes ; Son expression est :
\[
\mathbf{D=\, }
\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{\delta + d}\\
\mathbf{\delta + d}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\ \ (13.4.2)
\]
Donc
\[
\mathbf{D^{2}=\, }
\begin{bmatrix}
\mathbf{(\delta + d)^{2}}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{(\delta + d)^{2}}
\end{bmatrix}\ \ (13.4.3)
\]
Soit :
\[
\mathbf{D^{2}=\, }
\begin{bmatrix}
\mathbf{\delta ^{2}+\delta \, d +d\, \delta +d^{2}}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\delta ^{2}+\delta \, d +d\, \delta +d^{2}}
\end{bmatrix}\ \ (13.4.4)
\]
Les deux différentielles sont de carré nul, il reste :
\[
\mathbf{D^{2}=\, }
\begin{bmatrix}
\mathbf{\Delta}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\Delta}
\end{bmatrix}\ \ (13.4.5)
\]
On retrouve ainsi :
\[
\mathbf{\Delta =\, \dfrac{1}{2}\,trace(D^{2})}\ \ (13.4.6)
\]
14.1 Présentation du groupe et de l'algèbre
A la fin du sous paragraphe (1.1) sont données les relations entre \(\mathbf{(a,b,c)}\) coordonnées sur le groupe:
et \(\mathbf{(p,q,r)}\) coordonnées sur l'algèbre. Posons :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{p=u_{1}}\\
&\mathbf{q=u_{2}-u_{3}}\\
&\mathbf{r=u_{2}+u_{3}}\ \ \ \ (14.1.1)
\end{align}
\right.
\]
les formules (1.11) deviennent :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a=cosh\left (\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}\ \right )+u_{1}\, \dfrac{sinh\left (\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}\, \right )}{\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}}}\\
&\mathbf{b=(u_{2}-u_{3})\, \dfrac{sinh\left (\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}\, \right )}{\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}}}\\
&\mathbf{c=(u_{2}-u_{3})\, \dfrac{sinh\left (\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}\, \right )}{\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}}}\ \ \ \ (14.1.2)
\end{align}
\right.
\]
De nouveau posons :
\[
\mathbf{x_{i}=u_{i}\, \dfrac{sinh\left (\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}\, \right )}{\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}}}\ \ \ \ (14.1.3)
\]
Il est facile de vérifier que :
\[
\mathbf{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=\underbrace {cosh^{2}\left ( \sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}\right)}_{\left (\dfrac{t}{2}\right )^{2}}}\ \ \ \ (14.1.4)
\]
Le terme en cosinus hyperbolique est bien la moitié de la trace \(\mathbf{t}\), donc :
\[
\mathbf{t^{2}=4\, (1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\, )}\ \ \ \ (14.1.5)
\]
Finalement :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a=\dfrac{t}{2}+x_{1}}\\
&\mathbf{b=x_{2}-x{3}}\\
&\mathbf{c=\dfrac{t}{2}-x_{1}}\ \ \ \ (14.1.6)
\end{align}
\right.
\]
Le lecteur vérifiera la relation :
\[
\mathbf{\dfrac{(1+b\, c)}{a}=\dfrac{t}{2}-x_{1}}\ \ \ \ (14.1.7)
\]
La matrice générale du groupe est donc :
\[
\mathbf{x=}\begin{bmatrix}
\mathbf{x_{1}+\dfrac{t}{2}}&\mathbf{x_{2}-x_{3}}\\
\mathbf{x_{2}+x_{3}}&\mathbf{x_{1}-\dfrac{t}{2}}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (14.1.8)
\]
Comme le déterminant vaut \(\mathbf{1}\) alors :
\[
\mathbf{t^{2}=4\, (1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\, )}\ \ \ \ (14.1.9)
\]
et
\[
\mathbf{dt=\dfrac{4\, (x_{1}\, dx_{1}+x_{2}\, dx_{2}-x_{3}\, dx_{3}\, )}{t}}\ \ \ \ (14.1.10)
\]
Faisons les remarques :
-La trace vaut \(\mathbf{t}\), il faudra éviter d'extraire la racine carrée de (14.1.9).
-L'élément neutre est paramétrisé par \(\mathbf{(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)}\) soit \(\mathbf{t=2}\).
-Les coordonnées normales ont un rôle plus symétrique que les coordonnées initiales.
La base de l'algèbre de Lie est donc constituée des matrices \(\mathbf{H}\), \(\mathbf{U}\) et \(\mathbf{V}\) ci-dessous :
\[\mathbf{H=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{-1}
\end{bmatrix},\
\mathbf{U=}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{-1}\\
\mathbf{1}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\ \mathrm{et}\
\mathbf{V=}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{1}\\
\mathbf{1}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}
\ \ \ \ (14.1.11)\]
Les trois matrices ci-dessus vérifient les relations de commutation de Lie :
\[\mathbf{[H,U]=-2\,V\ ,[H,V]=-2\,U\ et\ [U,V]=2 \, H}\ \ \ \ (14.1.12)
\]
Considérons la loi de groupe provenant de \(\mathbf{x^{"}=x\, x^{'}}\), on a les relations :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{x_{1}^{''}=x_{1}\, x_{1}^{'}+x_{2}\, x_{2}^{'}-x_{3}\, x_{3}^{'}+x_{2}\, x_{3}^{'}-x_{3}\, x_{2}^{'}+x_{1}\, \dfrac{t^{'}}{2}+\dfrac{t}{2}\, x_{1}^{'}}\\
&\mathbf{x_{2}^{''}=-x_{1}\, x_{3}^{'}+x_{3}\, x_{1}^{'}+\dfrac{t}{2}\, x_{2}^{'}+x_{2}\, \dfrac{t^{'}}{2}}\\
&\mathbf{x_{3}^{''}=x_{2}\, x_{1}^{'}-x_{1}\, x_{2}^{'}-\dfrac{t}{2}\, x_{3}^{'}-x_{3}\, \dfrac{t^{'}}{2}}\\
&\mathbf{t^{"}=\dfrac{t\, t^{'}}{2}}\ \ \ \ (14.1.13)
\end{align}
\right.
\]
Les expressions restent bilinéaires à condition de garder les grandeurs de type \(\mathbf{t}\) comme indépendantes.
La dernière relation du groupe (14.1.13) n'est pas vraie dans tous les systèmes de coordonnées !
Rappelons le lien des nouvelles coordonnées vers les anciennes :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a=x_{1}+\dfrac{t}{2}}\\
&\mathbf{b=x_{2}-x_{3}}\\
&\mathbf{c=x_{2}+x_{3}}\ \ \ \ (14.1.14)
\end{align}
\right.
\]
Finalement le lien des anciennes coordonnées vers les nouvelles en utilisant \(\mathbf{t=a+\dfrac{(1+b\, c)}{a}}\) est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{x_{1}=\dfrac{1}{2}\, \left (a-\dfrac{(1+b\,c)}{a} \right )}\\
&\mathbf{x_{2}=\dfrac{1}{2}\, (b+c)}\\
&\mathbf{x_{3}=\dfrac{1}{2}\, (c-b)}\ \ \ \ (14.1.15)
\end{align}
\right.
\]
Le lecteur trouvera les normes avec les deux systèmes de coordonnées \(\mathbf{(x_{1},x_{2},x_{3})}\) et \(\mathbf{(u_{1},u_{2},u_{3})}\) :
\[
\mathbf{||(x_{1},x_{2},x_{3})||^{2}=1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}\ \ \ \ (14.1.16)\\
\mathbf{||(u_{1},u_{2},u_{3})||^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}}\ \ \ \ (14.1.17)
\]
14.2 Formes différentielles
Les deux formes de Cartan sont respectivement \(\mathbf{\overset {g}{\omega}=x^{-1}\, dx}\) et \(\mathbf{\overset {d}{\omega}={dx\, x^{-1}}}\).
Les calculs se font bien en gardant \(\mathbf{t}\) sans extraire la racine carrée mais en prenant \(\mathbf{t^{2}}\) de l'expression de (14.1.9)
Pour \(\mathbf{dt}\) il faut utiliser (14.1.10).
La forme de Cartan invariante par translation à gauche est :
\[\mathbf{\overset {g}{\omega} =\overset {g}{\omega^{H}}\,H+\overset{g}{\omega^{U}}\,U+\overset {g}{\omega^{V}}\,V}\,\ \ (14.2.1)\]
Le triplet de formes \(\mathbf{(\overset {g}{\omega^{H}},\overset {g}{\omega^{U}},\overset{g}{\omega^{V}}})\) est donné par les expressions :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\overset{g}{\omega^{H}}=\left (\dfrac{t}{2}-\dfrac{2\, x_{1}^{2}}{t}\, \right )\, dx_{1}+\, \left (x_{3}-\dfrac{2\, x_{1}\, x_{2}}{t} \right )\, dx_{2}+ \left (-x_{2}+\dfrac{2\, x_{1}\, x_{3} }{t}\, \right )\, dx_{3}}\\
&\mathbf{\overset {g}{\omega^{U}}=\left (-x_{3}-\dfrac{2\, x_{2}\ x_{1}}{t}\, \right )\, dx_{1}+\, \left (\, \dfrac{t}{2}-\, \dfrac{2\, x_{2}^{2}}{t} \right )\, dx_{2}+ \left (x_{1}+\dfrac{2\, x_{2}\, x_{3} }{t}\, \right )\, dx_{3}}\\
&\mathbf{\overset{g}{\omega^{V}}=\left (-x_{2}-\dfrac{2\, x_{3}\, x_{1}}{t} \right )\, dx_{1}+\, \left (x_{1}-\dfrac{2\, x_{3}\, x_{2}}{t} \right )\, dx_{2}+ \left (\dfrac{t}{2}+\dfrac{2\, x_{3}^{2} }{t}\, \right )\, dx_{3}}\ \ \ (14.2.2)
\end{align}
\]
La forme de Cartan invariante par translation à droite est :
\[\mathbf{\overset {d}{\omega} =\overset {d}{\omega^{H}}\,H+\overset{d}{\omega^{U}}\,U+\overset {d}{\omega^{V}}\,V}\,\ \ (14.2.3)\]
Le triplet de formes \(\mathbf{(\overset {d}{\omega^{H}},\overset {d}{\omega^{U}},\overset{d}{\omega^{V}})}\) est donné par les expressions :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\overset{d}{\omega^{H}}=\left (\dfrac{t}{2}-\dfrac{2\, x_{1}^{2}}{t} \right )\, dx_{1}+\left (-x_{3}-\dfrac{2\, x_{1}\, x_{2}}{t} \right )\, dx_{2}+\left (x_{2}+\dfrac{2\, x_{1}\, x_{3}}{t} \right )\, dx_{3}}\\
&\mathbf{\overset {d}{\omega^{U}}=\left (x_{3}-\dfrac{2\, x_{2}\, x_{1}}{t} \right )\, dx_{1}+\left (\dfrac{t}{2}-\dfrac{2\, x_{2}^{2}}{t} \right )\, dx_{2}+\left (-x_{1}+\dfrac{2\, x_{2}\, x_{3}}{t} \right )\, dx_{3}}\\
&\mathbf{\overset{d}{\omega^{V}}=\left (x_{2}-\dfrac{2\, x_{3}\, x_{1}}{t} \right )\, dx_{1}+\left (-x_{1}-\dfrac{2\, x_{3}\, x_{2}}{t} \right )\, dx_{2}+\left ( \dfrac{t}{2}+\dfrac{2\, x_{3}^{2}}{t} \right )\, dx_{3}}\ \ \ (14.2.4)
\end{align}
\]
Les formes \(\mathbf{\overset {+}{\omega}(x) \, =\dfrac{1}{2}\, \left ( \overset {g}{\omega }(x) + \overset {d}{\omega }(x) \right )}\) et \(\mathbf{\overset {-}{\omega}(x) \, =\dfrac{1}{2}\, \left ( \overset {g}{\omega }(x) - \overset {d}{\omega }(x) \right )}\) sont invariantes par conjugaison et sont donc caractéristiques de la classe.
Donnons leurs expressions :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\overset {+}{\omega}^{\, H}=\left (\dfrac{t}{2}-\dfrac{2\, x_{1}^{2}}{t} \right )\, dx_{1}-\dfrac{2\, x_{1}\, x_{2}}{t}\, dx_{2}+\dfrac{2\, x_{1}\, x_{3}}{t}\, dx_{3}}\\
&\mathbf{\overset {+}{\omega}^{\, U}=-\dfrac{2\, x_{1}\, x_{2}}{t}\, dx_{1}+\left (\dfrac{t}{2}-\dfrac{2\, x_{2}^{2}}{t} \right )\, dx_{2}+\dfrac{2\, x_{2}\, x_{3}}{t}\, dx_{3}}\\
&\mathbf{\overset {+}{\omega}^{\, V}=-\dfrac{2\, x_{1}\, x_{3}}{t}\, dx_{1}-\dfrac{2\, x_{2}\, x_{3}}{t}\, dx_{2}+\left (\dfrac{t}{2}+\dfrac{2\, x_{3}^{2}}{t} \right )\, dx_{3}}\ \ \ (14.2.5)
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
&\mathbf{\overset {-}{\omega}^{\, H}= x_{3}\, dx_{2}-x_{2}\, dx_{3}}\\
&\mathbf{\overset {-}{\omega}^{\, U}= x_{1}\, dx_{3}-x_{3}\, dx_{1}}\\
&\mathbf{\overset {-}{\omega}^{\, V}=x_{1}\, dx_{2}-x_{2}\, dx_{1}}\ \ \ (14.2.6)
\end{align}
\]
Il est facile de vérifier que \(\mathbf{\overset {-}{\omega}}\) est un moment du type :
\[
\mathbf{\dfrac{1}{2}\, [L,dL]}\ \ \ (14.2.7)
\]
La forme volume vérifie :
\[
\mathbf{\mu =\omega^{H} \wedge \omega^{U} \wedge \omega^{V}}\ \ \ (14.2.8)
\]
soit :
\[
\mathbf{\mu = \dfrac{2}{t} \, dx_{1}\, \wedge dx_{2}\, \wedge dx_{3}}\ \ \ (14.2.9)
\]
14.3 Tenseurs métriques
Sur le groupe on peut calculer la distance-carrée :
\[
\mathbf{ds^{2}=-\, \dfrac{1}{2}\,trace \left (dx\,dx^{-1} \right )}\ \ \ \ (14.3.1)
\]
Après queques petits calculs, on obtient :
\[
\mathbf{ds^{2}= \underbrace { dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}}_{terme\ pseudo-euclidien}- \underbrace {\dfrac{\left (x_{1}\,dx_{1}+x_{2}\,dx_{2}-x_{3}\,dx_{3}\right )\,^{2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}}_{terme\, de\, courbure}}\ \ \ \ (14.3.2)
\]
En termes de tenseur métrique cela donne :
\[
\mathbf{g = \ \left( \frac{x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1} \right) \mathrm{d} x_{1}\otimes \mathrm{d} x_{1} + \left( -\frac{x_{1} x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1} \right) \mathrm{d} x_{1}\otimes \mathrm{d} x_{2} + \left( \frac{x_{1} x_{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1} \right) \mathrm{d} x_{1}\otimes \mathrm{d} x_{3}\\
\ \ \ \ \ +\left( -\frac{x_{1} x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1} \right) \mathrm{d} x_{2}\otimes \mathrm{d} x_{1} + \left( \frac{x_{1}^{2} - x_{3}^{2} + 1}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1} \right) \mathrm{d} x_{2}\otimes \mathrm{d} x_{2} + \left( \frac{x_{2} x_{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1} \right) \mathrm{d} x_{2}\otimes \mathrm{d} x_{3}\\
\ \ \ \ \ \ +\left( \frac{x_{1} x_{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1} \right) \mathrm{d} x_{3}\otimes \mathrm{d} x_{1} + \left( \frac{x_{2} x_{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1} \right) \mathrm{d} x_{3}\otimes \mathrm{d} x_{2} + \left( -\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 1}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1} \right) \mathrm{d} x_{3}\otimes \mathrm{d} x_{3} \ \ \ (14.3.3)}
\]
Sous forme matricielle :
\[
\mathbf{[g] =}
\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}} &\mathbf{-\dfrac{x_{1} x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}} &\mathbf{\dfrac{x_{1} x_{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}} \\
\mathbf{-\dfrac{x_{1} x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}} &\mathbf{\dfrac{x_{1}^{2} - x_{3}^{2} + 1}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}} &\mathbf{\dfrac{x_{2} x_{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}} \\
\mathbf{\dfrac{x_{1} x_{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}} &\mathbf{\dfrac{x_{2} x_{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}} &\mathbf{-\dfrac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 1}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 1}}
\end{bmatrix}\ \ \ (14.3.4)
\]
L'inverse de la matrice ci-dessus est :
\[
\mathbf{[g]^{-1}=}
\begin{bmatrix}
\mathbf{x_{1}^{2} + 1} &\mathbf{x_{1} x_{2}} &\mathbf{x_{1} x_{3}}\\
\mathbf{x_{1} x_{2}} &\mathbf{x_{2}^{2} + 1} &\mathbf{x_{2} x_{3}}\\
\mathbf{x_{1} x_{3}} &\mathbf{x_{2} x_{3}} &\mathbf{x_{3}^{2} - 1}\\
\end{bmatrix}\ \ \ (14.3.5)
\]
Le tenseur métrique inverse est donné par :
\[
\mathbf{g^{-1} =(x_{1}^{2}+1)\, \dfrac{\partial}{\partial x_{1}}\otimes\dfrac{\partial}{\partial x_{1}}+x_{1}\, x_{2}\, \dfrac{\partial}{\partial x_{1}}\otimes\dfrac{\partial}{\partial x_{2}}+x_{1}\, x_{3}\, \dfrac{\partial}{\partial x_{1}}\otimes\dfrac{\partial}{\partial x_{3}}\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ +x_{2}\, x_{1}\, \dfrac{\partial }{\partial x_{2}}\otimes \dfrac{\partial }{\partial x_{1}}+(x_{2}^{2}+1)\,\dfrac{\partial}{\partial x_{2}}\otimes\dfrac{\partial}{\partial x_{2}}+ x_{2}\, x_{3}\, \dfrac{\partial}{\partial x_{2}}\otimes\dfrac{\partial}{\partial x_{3}}\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ +x_{3}\, x_{1}\, \dfrac{\partial }{\partial x_{3}}\otimes \dfrac{\partial }{\partial x_{1}}+x_{3}\, x_{2}\,\dfrac{\partial}{\partial x_{3}}\otimes\dfrac{\partial}{\partial x_{2}}+ (x_{3}^{2}+1)\, \dfrac{\partial}{\partial x_{3}}\otimes\dfrac{\partial}{\partial x_{3}}\ \ \ (14.3.6)}
\]
Soient \(\mathbf{L(u_{1},u_{2},u_{3})}\) et \(\mathbf{L^{'}(u_{1}^{'},u_{2}^{'},u_{3}^{'})}\) deux éléments de l'algèbre, on définit le produit scalaire par :
\[
\mathbf{\big\langle\,L| L^{'}\,\big\rangle = \dfrac{1}{2}\,trace(L\, L^{'})}\ \ \ \ (14.3.7)
\]
Le calcul donne :
\[
\mathbf{\big\langle\,L| L^{'}\,\big\rangle =u_{1}\, u_{1}\, ^{'}+u_{2}\, u_{2}\, ^{'}-u_{3}\, u_{3}\, ^{'} }\ \ \ \ (14.3.8)
\]
La matrice de la forme bilinéaire correspondante est donc :
\[\mathbf{[g]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{-1}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (14.3.9)\]
En se rappelant de l'expression du tenseur métrique et de l'expression de la forme de Cartan, il vient :
\[\mathbf{ds^{2}= \dfrac{1}{2}trace \left (\begin{bmatrix}
\mathbf{\omega ^{H}}&\mathbf{\omega ^{U}-\omega ^{V}}\\
\mathbf{\omega ^{U}+\omega ^{V}}&\mathbf{-\omega ^{H}}\\
\end{bmatrix}^{2} \right )}\]
Soit finalement :
\[
\mathbf{ds^{2}= \omega ^{H\,^{2}}+\omega ^{U\, ^{2}}-\omega ^{V\, ^{2}}}\ \ \ \ (14.3.10)
\]
Contrairement à la base \(\mathbf{(H,X,Y)}\) la base \(\mathbf{(H,U,V)}\) ne contient pas de vecteurs isotropes.
14.4 Classes de conjugaison
On peut visualiser l'espace d'une classe de conjugaison de trace \(\mathbf{t}\) en écrivant :
\[
\mathbf{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-\dfrac{t^{2}}{4} +1=0}\ \ \ \ (14.4.1)
\]
Voici la représentation de quelques surfaces de niveau pour t dans la liste [5,2,0,-2,-5] :
L' animation suivante montre l'évolution des surfaces de niveau en fonction de \(\mathbf{t}\) dans la liste [-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5] :
/animation.png)
La classe de conjugaison du neutre correspond à \(\mathbf{t=2}\) et donc est représentée par un cône.
14.5 Laplacien
Laissons travailler Sage pour obtenir le laplacien avec le programme suivant :
#Laplacien de SL(2,R) en coordonnées normales
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
D=1+x1^2+x2^2-x3^2
m=matrix([[(1+x2^2-x3^2)/D,-x1*x2/D,x1*x3/D],
[-x1*x2/D,(1+x1^2-x3^2)/D,x2*x3/D],
[x1*x3/D,x2*x3/D,-(1+x1^2+x2^2)/D]])
M=Manifold(P,'M')
XM.= M.chart()
g=M.metric('g')
for i in range(P):
for j in range(P):
g[i,j]=m[i,j]
F=M.scalar_field(function('F')(x1,x2,x3),name='F')
Delta_F=F.laplacian(g)
print("Le laplacien est défini par :")
show(Delta_F.display())
On obtient le résultat suivant :
\[
\mathbf{\Delta_{g}\left(F\right):\ \ \ \ M \ \ \longrightarrow \ \ \ }\mathbb{R}
\]
\[
\mathbf{(x_{1}, x_{2}, x_{3})\ \ \ \ \ \longmapsto \ \ \ \ \ x_{2}^{2} \dfrac{\partial^{2}\,F}{\partial x_{2}^{2}} + x_{3}^{2} \dfrac{\partial^{2}\,F}{\partial x_{3}^{2}} +2 \,( x_{1} \dfrac{\partial^{2}\,F}{\partial x_{1}\partial x_{2}} + 3 \, \dfrac{\partial\,F}{\partial x_{2}}) x_{2} + (2 \, x_{1} \dfrac{\partial^{2}\,F}{\partial x_{1}\partial x_{3}} + 2 \, x_{2} \dfrac{\partial^{2}\,F}{\partial x_{2}\partial x_{3}} + 3 \, \dfrac{\partial\,F}{\partial x_{3}}) x_{3} + 3 \, x_{1} \dfrac{\partial\,F}{\partial x_{1}} + (x_{1}^{2} + 1) \dfrac{\partial^{2}\,F}{\partial x_{1}^{2}} + \dfrac{\partial^{2}\,F}{\partial x_{2}^{2}} - \dfrac{\partial^{2}\,F}{\partial x_{3}^{2}}}\ \ \ \ (14.5.1)
\]
Le spectre du Laplacien mériterait d'être exhibé.
15.1 Opérateurs différentiels
Considérons une translation \(\mathbf{x^{'}}\) agissant à droite sur \(\mathbf{x}\) :
\[
\mathbf{x^{''}=x\, x^{'}}\ \ \ \ (15.1.1)
\]
La loi du produit est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}=a\,a^{'}+b\,c^{'}}\\
&\mathbf{b^{''}=a\,b^{'}+\dfrac{b\,(1+b^{'}\,c^{'})}{a^{'}}}\\
&\mathbf{c^{''}=c\,a^{'}+\frac{(1+b\,c)\,c^{'}}{a}}\ \ \ \ (15.1.2)
\end{align}
\right.
\]
Pour \(\mathbf{x^{'}}\) prenons une translation voisine de \(\mathbf{x=e}\) soit \(\mathbf{x^{'} \sim x(e+dM)}\) :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}\sim a +da^{'}\, a+dc^{'}\, b}\\
&\mathbf{b^{''}\sim b-da^{'}\, b+db^{'}\, a}\\
&\mathbf{c^{''}\sim c+da^{'}\, c+dc^{'}\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}}\ \ \ \ (15.1.3)
\end{align}
\right.
\]
L'effet de \(\mathbf{da^{'}}\) est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}\sim da^{'}\, a}\\
&\mathbf{b^{''}\sim -da^{'}\, b}\\
&\mathbf{c^{''}\sim da^{'}\, c}\ \ \ \ (15.1.4)
\end{align}
\right.
\]
L'opérateur différentiel multipliant \(\mathbf{da^{'}}\) est donc :
\[
\mathbf{\underbrace{a\, \dfrac{\partial}{\partial a}-b\, \dfrac{\partial}{\partial b}+c\, \dfrac{\partial}{\partial c}}_{\overset{g}{X}a}}\ \ \ \ (15.1.5)
\]
L'effet de \(\mathbf{db^{'}}\) est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}\sim 0}\\
&\mathbf{b^{''}\sim db^{'}\, a}\\
&\mathbf{c^{''}\sim 0}\ \ \ \ (15.1.6)
\end{align}
\right.
\]
L'opérateur différentiel multipliant \(\mathbf{db^{'}}\) est donc :
\[
\mathbf{\underbrace{a\, \dfrac{\partial}{\partial b}}_{\overset{g}{X}b}}\ \ \ \ (15.1.7)
\]
L'effet de \(\mathbf{dc^{'}}\) est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}\sim dc^{'}\, b}\\
&\mathbf{b^{''}\sim 0}\\
&\mathbf{c^{''}\sim dc^{'}\,\dfrac{(1+b\, c)}{a}}\ \ \ \ (15.1.8)
\end{align}
\right.
\]
L'opérateur différentiel multipliant \(\mathbf{dc^{'}}\) est donc :
\[
\mathbf{\underbrace{b\, \dfrac{\partial}{\partial a}+\dfrac{(1+b\, c)}{a} \dfrac{\partial}{\partial c}}_{\overset{g}{X}c}}\ \ \ \ (15.1.9)
\]
On a fait une translation à droite pour obtenir les opérateurs invariants par translation à gauche !
Considérons une translation \(\mathbf{x^{'}}\) agissant à gauche sur \(\mathbf{x}\) :
\[
\mathbf{x^{''}=x^{'}\, x}\ \ \ \ (15.1.10)
\]
La loi du produit est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}=a^{'}\,a+b^{'}\, c}\\
&\mathbf{b^{''}=a^{'}\, b+b^{'}\, \dfrac{(1+b\,c)}{a}}\\
&\mathbf{c^{''}=c^{'}\, a+\dfrac{(1+b^{'}\,c^{'})}{a^{'}}\, c}\ \ \ \ (15.1.11)
\end{align}
\right.
\]
Pour \(\mathbf{x^{'}}\) prenons une translation voisine de \(\mathbf{x=e}\) soit \(\mathbf{x^{'} \sim x(e+dM)}\) :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}\sim a +da^{'}\, a+db^{'}\, c}\\
&\mathbf{b^{''}\sim b+da^{'}\, b+db^{'}\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}}\\
&\mathbf{c^{''}\sim -da^{'}\, c+dc^{'}\, a}\ \ \ \ (15.1.12)
\end{align}
\right.
\]
L'effet de \(\mathbf{da^{'}}\) est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}\sim da^{'}\, a}\\
&\mathbf{b^{''}\sim da^{'}\, b}\\
&\mathbf{c^{''}\sim -da^{'}\, c}\ \ \ \ (15.1.13)
\end{align}
\right.
\]
L'opérateur différentiel multipliant \(\mathbf{da^{'}}\) est donc :
\[
\mathbf{\underbrace{a\, \dfrac{\partial}{\partial a}+b\, \dfrac{\partial}{\partial b}-c\, \dfrac{\partial}{\partial c}}_{\overset{d}{X}a}}\ \ \ \ (15.1.14)
\]
L'effet de \(\mathbf{db^{'}}\) est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}\sim db^{'}\, c}\\
&\mathbf{b^{''}\sim db^{'}\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}}\\
&\mathbf{c^{''}\sim 0}\ \ \ \ (15.1.15)
\end{align}
\right.
\]
L'opérateur différentiel multipliant \(\mathbf{db^{'}}\) est donc :
\[
\mathbf{\underbrace{c\, \dfrac{\partial}{\partial a}+\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, \dfrac{\partial}{\partial b}}_{\overset{d}{X}b}}\ \ \ \ (15.1.16)
\]
L'effet de \(\mathbf{dc^{'}}\) est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}\sim 0}\\
&\mathbf{b^{''}\sim 0}\\
&\mathbf{c^{''}\sim dc^{'}\, a}\ \ \ \ (15.1.17)
\end{align}
\right.
\]
L'opérateur différentiel multipliant \(\mathbf{dc^{'}}\) est donc :
\[
\mathbf{\underbrace{a\, \dfrac{\partial}{\partial c}}_{\overset{d}{X}c}}\ \ \ \ (15.1.18)
\]
On a fait une translation à gauche pour obtenir les opérateurs invariants par translation à droite !
15.2 Formes différentielles
Considérons une translation \(\mathbf{x^{'}}\) agissant à droite sur \(\mathbf{x^{-1}}\) :
\[
\mathbf{x^{''}=x^{-1}\, x^{'}}\ \ \ \ (15.2.1)
\]
La loi du produit est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}=\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, a^{'}-b\, c^{'}}\\
&\mathbf{b^{''}=\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, b^{'}-b\, \dfrac{(1+b^{'}\, c^{'})}{a^{'}}}\\
&\mathbf{c^{''}=-c\, a^{'}+a\, c^{'}}\ \ \ \ (15.2.2)
\end{align}
\right.
\]
Pour \(\mathbf{x^{'}}\) prenons une translation voisine de \(\mathbf{x}\) soit \(\mathbf{\sim x(M+dM)}\) :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}\sim \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, (a+da)-b\, (c+dc)= 1+\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, da-b\, dc}\\
&\mathbf{b^{''}\sim \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, (b+db)-b\, \dfrac{(1+(b+db)\, (c+dc))}{a+da}=\dfrac{b\, (1+b\, c)}{a^{2}}\, da+\dfrac{db}{a}-\dfrac{b^{2}}{a}\, dc}\\
&\mathbf{c^{''}\sim -c\, (a+da)+a\, (c+dc)=-c\, da+a\, dc}\ \ \ \ (15.2.3)
\end{align}
\right.
\]
L'effet au premier ordre de la translation sur une fonction s'écrit :
\[
\begin{align}
\mathbf{F(a^{''},b^{''},c^{''})\sim F(1,0,0)}&\mathbf{+\left ( \underbrace{\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, da-b\, dc}_{\overset{g}{\omega^{a }}}\right )\, \dfrac{\partial F}{\partial a}\, (1,0,0)}\\
&\mathbf{+ \left ( \underbrace{\dfrac{b\, (1+b\, c)}{a^{2}}\, da+\dfrac{db}{a}-\dfrac{b^{2}}{a}\, dc}_{\overset{g}{\omega^{b }}}\right )\, \dfrac{\partial F}{\partial b}\, (1,0,0)}\\
&\mathbf{+ \left ( \underbrace{-c\, da+a\, dc}_{\overset{g}{\omega^{c }}}\right )\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\, (1,0,0)}\ \ \ \ (15.2.4)
\end{align}
\]
On a fait une translation à droite pour obtenir les formes invariantes par translation à gauche !
Considérons une translation \(\mathbf{x^{'}}\) agissant à gauche sur \(\mathbf{x^{-1}}\) :
\[
\mathbf{x^{''}=x^{'}\, x^{-1}}\ \ \ \ (15.2.5)
\]
La loi du produit est :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}=a^{'}\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}-b^{'}\, c}\\
&\mathbf{b^{''}=-a^{'}\, b+b^{'}\, a}\\
&\mathbf{c^{''}=c^{'}\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}-\dfrac{(1+b^{'}\, c^{'})}{a^{'}}\, c}\ \ \ \ (15.2.6)
\end{align}
\right.
\]
Pour \(\mathbf{x^{'}}\) prenons une translation voisine de \(\mathbf{x}\) soit \(\mathbf{\sim x(M+dM)}\) :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}\sim (a+da)\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}-(b+db)\, c=1+\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, da-c\, db}\\
&\mathbf{b^{''}\sim -(a+da)\, b+(b+db)\, a=-b\, da+a\, db}\\
&\mathbf{c^{''}\sim (c+dc)\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}-\dfrac{\left (1+(b+db)\, (c+dc) \right )}{a+da}\, c=\dfrac{(1+b\, c)}{a^{2}}\, da-\dfrac{c^{2}}{a}\, db+\dfrac{dc}{a}}\ \ \ \ (15.2.7)
\end{align}
\right.
\]
L'effet au premier ordre de la translation sur une fonction s'écrit :
\[
\begin{align}
\mathbf{F(a^{''},b^{''},c^{''})\sim F(1,0,0)}&\mathbf{+\left ( \underbrace{\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, da-c\, db}_{\overset{d}{\omega^{a }}}\right )\, \dfrac{\partial F}{\partial a}\, (1,0,0)}\\
&\mathbf{+ \left ( \underbrace{-b\, da+a\, db}_{\overset{d}{\omega^{a }}}\right )\, \dfrac{\partial F}{\partial b}\, (1,0,0)}\\
&\mathbf{+ \left ( \underbrace{\, \dfrac{(1+b\, c)}{a^{2}}\, da-\dfrac{c^{2}}{a}\, db+\dfrac{dc}{a}}_{\overset{d}{\omega^{c }}}\right )\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\, (1,0,0)}\ \ \ \ (15.2.8)
\end{align}
\]
On a fait une translation à gauche pour obtenir les formes invariantes par translation à droite !
Remarques
-Avec la même longueur on retrouve les résultats des premiers chapitres.
-Cette méthode ne suppose pas que le groupe de Lie soit matriciel, seule la loi de groupe est utilisée.
-On n'utilise pas le déterminant jacobien qui s'utilise en cas de changements de variables.
-Sauriez vous modifier cette méthode pour obtenir les grandeurs plus et moins ?
16.1 Equation de Shrödinger en coordonnées cartésiennes
L'Hamiltonien classique est une fonction des positions \(\mathbf{q_{\alpha}\ \ \alpha \in [1,2,3]}\) et des impulsions \(\mathbf{P_{\alpha}\ \ \alpha\in [1,2,3]}\) :
\[
\mathbf{H=\dfrac{1}{2\, m}\, \left (P_{1}\,^{2}+P_{2}\, ^{2}+P_{3}\, ^{2}\right )+V}\ \ \ \ (16.1.1)
\]
La grandeur \(\mathbf{H}\) est conservative de valeur \(\mathbf{E}\) et le potentiel \(\mathbf{V}\) est fonction des \(\mathbf{q_{\alpha}}\).
Impulsions et énergie dérivent d'une fonction action \(\mathbf{S(q_{1},q_{2},q_{3},t)}\) ou \(\mathbf{t}\) est le temps d'évolution :
\[
\mathbf{P_{\alpha}=\dfrac{\partial S}{\partial q_{\alpha}}}\\
\mathbf{E=-\dfrac{\partial S}{\partial t}}\ \ \ \ (16.1.2)
\]
L'équation classique d'Hamilton-Jacobi est alors :
\[
\mathbf{H\left (q_{\alpha},\dfrac{\partial S}{\partial q_{\alpha}}\right )+\dfrac{\partial S}{\partial t}}\ \ \ \ (16.1.3)
\]
Schrödinger ne cherche pas à résoudre (16.1.3), c'est d'ailleurs archi-connu à son époque, il pose :
\[
\mathbf{S=-i\,\hbar \, Log(\Psi)}\\
\mathbf{H=\dfrac{1}{2\, m}\, \left (P_{1}\,^{\star}\, P_{1}+P_{2}\, ^{\star}\, P_{2}+P_{3}\, ^{\star}\, P_{3}\right )+V}\ \ \ \ (16.1.4)
\]
La conjugaison complexe dans \(\mathbf{H}\) est introduite car la fonction d'onde \(\mathbf{\Psi}\) est un nombre complexe(amplitude de probabilité).
Les relations (16.1.2) deviennent :
\[
\mathbf{P_{\alpha}=-i\, \hbar\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{\alpha}}}{\Psi}}\\
\mathbf{P_{\alpha}\,^{\star}=i\, \hbar\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{\alpha}}}{\Psi^{\star}}}\\
\mathbf{E=\, \hbar\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}}{\Psi}}\ \ \ \ (16.1.5)
\]
Schrödinger introduit la fonctionnelle :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \left (H\left (q_{\alpha},\dfrac{\partial S}{\partial q_{\alpha}}\right )+\dfrac{\partial S}{\partial t}\right )\, \Psi^{\star}\, \Psi\, dq_{1}\, dq_{2}\, dq_{3}}\ \ \ \ (16.1.6)
\]
On reconnaît la densité de probabilité \(\mathbf{\Psi^{\star}\, \Psi}\) et la mesure d'intégration invariante \(\mathbf{ dq_{1}\, dq_{2}\, dq_{3}}\).
Substituons (16.1.5) dans (16.1.6) :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \left [\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\left (\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{1}}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{1}}}{\Psi}
+ \dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{2}}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{2}}}{\Psi}
+ \dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{3}}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{3}}}{\Psi}\right )
+V-i\, \hbar\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}}{\Psi} \right ]\, \Psi^{\star}\, \Psi\,dq_{1}\, dq_{2}\, dq_{3}}\ \ \ \ (16.1.7)
\]
Faisons entrer le terme \(\mathbf{\Psi^{\star}\, \Psi}\) dans le crochet :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \underbrace{\left [\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\left (
\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{1}}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{1}}
+ \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{2}}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{2}}
+ \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{3}}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{3}}\right )
+V\, \Psi^{\star}\, \Psi-i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}\, \Psi^{\star} \right ]}_{u}\,dq_{1}\, dq_{2}\, dq_{3}}\ \ \ \ (16.1.8)
\]
On cherche à minimiser la fonctionnelle, alors le terme \(\mathbf{u}\) doit vérifier l'équation d'Euler-Lagrange suivante :
\[
\mathbf{\dfrac{\partial u}{\partial \Psi^{\star}}
-\dfrac{\partial}{\partial q_{1}}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{1}}\right )} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial q_{2}}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{2}}\right )} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial q_{3}}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{3}}\right )} \right )
+\dfrac{\partial}{\partial t}\,\underbrace {\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial t}\right )}\right )}_{=0}=0}\ \ \ \ (16.1.9)
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{V\, \Psi-i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}-\dfrac{\partial}{\partial q_{1}}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{1}} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial q_{2}}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{2}} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial q_{3}}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{3}} \right )=0}\ \ \ \ (16.1.10)
\]
soit en définitive :
\[
\boxed{\mathbf{i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \left (\underbrace{\dfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial q_{1}^{2}}
+\dfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial q_{2}^{2}}
+\dfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial q_{3}^{2}}}_{\Delta}\right )+V\, \Psi}}\ \ \ \ (16.1.11)
\]
16.2 Equation de Shrödinger en coordonnées sphériques
/coordonnées_sphériques.png)
Les coordonnés sphériques sont \(\mathbf{(r,\theta,\phi)}\) (voir figure ci-dessus) et les impulsions associées sont \(\mathbf{(P_{r},P_{\theta},P_{\phi})}\).
Rappelons la distance carrée élémentaire :
\[
\mathbf{ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\, d\theta ^{2}+r^{2}\, sin(\theta)\, d\phi^{2}}\ \ \ \ (16.2.1)
\]
Si \(\mathbf{t}\) est le temps et \(\mathbf{T}\) l'énergie cinétique alors :
\[
\mathbf{T=\dfrac{1}{2}\, m\,\left (\left ( \dfrac{dr}{dt} \right )^{2}+r^{2}\,\left ( \dfrac{d\theta}{dt} \right )^{2}+r^{2}\, sin(\theta)\,\left (\dfrac{d\phi}{dt}\right )^{2} \right )}\ \ \ \ (16.2.2)
\]
On en déduit les impulsions :
\[
\mathbf{P_{r}=\dfrac{\partial T}{\partial \left (\dfrac{dr}{dt} \right )}=m\, \dfrac{dr}{dt}}\\
\mathbf{P_{\theta}=\dfrac{\partial T}{\partial \left (\dfrac{d\theta}{dt} \right )}=m\, r^{2}\, \dfrac{d\theta}{dt}}\\
\mathbf{P_{\phi}=\dfrac{\partial T}{\partial \left (\dfrac{d\phi}{dt} \right )}=m\, r^{2}\, sin(\theta)\, \dfrac{d\phi}{dt}}\ \ \ \ (16.2.3)
\]
L'expression (16.2.2) devient :
\[
\mathbf{T=\dfrac{1}{2\, m}\, \left (P_{r}^{2}+\dfrac{P_{\theta}^{2}}{r^{2}}+\dfrac{P_{\phi}^{2}}{r^{2}\, sin(\theta)} \right )}\ \ \ \ (16.2.4)
\]
L' Hamiltonien classique est donc :
\[
\mathbf{H=\dfrac{1}{2\, m}\, \left (P_{r}^{2}+\dfrac{P_{\theta}^{2}}{r^{2}}+\dfrac{P_{\phi}^{2}}{r^{2}\, sin(\theta)} \right )+V}\ \ \ \ (16.2.5)
\]
Impulsions et énergie dérivent de la fonction action \(\mathbf{S(r,\theta,\phi)}\) suivant :
\[
\mathbf{P_{r}=\dfrac{\partial S}{\partial r}}\\
\mathbf{P_{\theta}=\dfrac{\partial S}{\partial \theta}}\\
\mathbf{P_{\phi}=\dfrac{\partial S}{\partial \phi}}\\
\mathbf{E=-\dfrac{\partial S}{\partial t}}\ \ \ \ (16.2.6)
\]
Posons :
\[
\mathbf{S=-i\,\hbar\, Log(\Psi)} \ \ \ \ (16.2.7)
\]
Comme \(\mathbf{\Psi}\) est complexe il faut complexifier l'Hamiltonien classique qui devient :
\[
\mathbf{H=\dfrac{1}{2\, m}\, \left (P_{r}\,^{\star}\, P_{r}+\dfrac{P_{\theta}\, ^{\star}\, P_{\theta}}{r^{2}}+\dfrac{P_{\phi}\, ^{\star}\, P_{\phi}}{r^{2}\, sin(\theta)}\right )+V}\ \ \ \ (16.2.8)
\]
Calculons (16.2.6) en tenant compte de (16.2.7) puis formons la fonctionnelle de Schrödinger :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \left [\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\left (\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial r}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial r}}{\Psi}
+ \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \theta}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta}}{\Psi}
+ \dfrac{1}{r^{2}\, sin(\theta)}\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \phi}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial \phi}}{\Psi}\right )
+V-i\, \hbar\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}}{\Psi} \right ]\, \Psi^{\star}\, \Psi\,\boxed{r^{2}\, sin(\theta)\, dr\, d\theta\, d\phi}}\ \ \ \ (16.2.9)
\]
En encadré la mesure invariante d'intégration.
Faisons entrer le terme \(\mathbf{\Psi^{\star}\, \Psi\, r^{2}\, sin(\theta)}\) dans le crochet :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \underbrace{\left [\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\left (r^{2}\, sin(\theta)\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial r}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial r}
+ sin(\theta)\, \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \theta}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta}
+ \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \phi}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial \phi}\right )
+V\, r^{2}\, sin(\theta)\, \Psi^{\star}\, \Psi-i\,r^{2}\, sin(\theta) \hbar\, \Psi^{\star}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} \right ]}_{u}\, dr\, d\theta\, d\phi}\ \ \ \ (16.2.10)
\]
On cherche à minimiser la fonctionnelle, alors le terme \(\mathbf{u}\) doit vérifier l'équation d'Euler-Lagrange suivante :
\[
\mathbf{\dfrac{\partial u}{\partial \Psi^{\star}}
-\dfrac{\partial}{\partial r}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial r}\right )} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial \theta}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \theta}\right )} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial \phi}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \phi}\right )} \right )
+\dfrac{\partial}{\partial t}\,\underbrace {\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial t}\right )}\right )}_{=0}=0}\ \ \ \ (16.2.11)
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{r^{2}\, sin(\theta)\,V\, \Psi-r^{2}\, sin(\theta)i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}-\dfrac{\partial}{\partial r}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, r^{2}\, sin(\theta)\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial r} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial \theta}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, sin(\theta)\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial \phi}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial \phi} \right )=0}\ \ \ \ (16.2.12)
\]
\[
\mathbf{r^{2}\, sin(\theta)\,\left (V\, \Psi-i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} \right )}\\
\mathbf{=}\\
\mathbf{\dfrac{-\hbar^{2}}{2\, m}\, sin(\theta)\left (2\, r\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial r}+r^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}\, \Psi}{\partial r^{2}} \right )}\\
\mathbf{-\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \left (cos(\theta)\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta}+sin(\theta)\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial \theta^{2}} \right )}\\
\mathbf{-\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial \phi^{2}}}\ \ \ \ (16.2.13)
\]
Divisons (16.2.13) par \(\mathbf{r^{2}\, sin(\theta)}\) :
\[
\mathbf{V\,\Psi-i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} }\\
\mathbf{=}\\
\mathbf{\dfrac{-\hbar^{2}}{2\, m}\,\left (\dfrac{2}{r}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial r}+\dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial r^{2}} \right )}\\
\mathbf{\dfrac{-\hbar^{2}}{2\, m}\,\left (\dfrac{cos(\theta)}{r^{2}\, sin(\theta)}\dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta}+\dfrac{1}{r^{2}}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial \theta^{2}} \right )}\\
\mathbf{\dfrac{-\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{1}{r^{2}}\, sin(\theta)\, \dfrac{\partial ^{2}\, \Psi}{\partial \phi ^{2}}}\ \ \ \ (16.2.14)
\]
soit en définitive :
\[
\mathbf{\boxed{i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \left ( \underbrace{
\dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial r^{2}}+\dfrac{2}{r}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial r}
+\dfrac{1}{r^{2}\, sin^{2}(\theta)}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial \phi ^{2}}
+\dfrac{1}{r^{2}}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial \theta ^{2}}
+\dfrac{cos(\theta)}{r^{2}\, sin(\theta}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta}}_{\Delta} \right )\, \Psi+V\, \Psi}}\ \ \ \ (16.2.15)
\]
16.3 Equation d'évolution du groupe SL(2,R)
Rappelons le Lagrangien d'évolution vu dans la chapitre 10 :
\[
\mathbf{L=\dfrac{(1+b\,c)}{2\, a^{2}}\,\dot {a}^{2}-\dfrac{c}{2\, a}\,\dot{a}\,\dot{b}-\dfrac{b}{2\, a}\,\dot {a}\,\dot {c} + \dfrac{1}{2}\, \dot{b}\, \dot {c}}\ \ \ \ (16.3.1)
\]
Les impusions conjuguées des positions sont donc :
\[
\mathbf{P_{a}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{a}}=\dfrac{(1+b\, c)}{a^{2}}\, \dot{a}-\dfrac{c}{2\, a}\, \dot{b}-\dfrac{b}{2\, a}\, \dot{c}}\\
\mathbf{P_{b}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{b}}=-\dfrac{c}{2\, a}\, \dot{a}+\dfrac{1}{2}\, \dot{c}}\\
\mathbf{P_{c}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{c}}=-\dfrac{b}{2\, a}\, \dot{a}+\dfrac{1}{2}\, \dot{b}}\ \ \ \ (16.3.2)
\]
Les relations précédentes s'inversent, on obtient :
\[
\mathbf{\dot{a}=a^{2}\, P_{a}+a\, b\,P_{b}+a\, c\, P_{c}}\\
\mathbf{\dot{b}=a\, b\, P_{a}+b^{2}\, P_{b}+(2+b\, c)\, P_{c}}\\
\mathbf{\dot{c}=a\, c\, P_{a}+(2+b\, c)\, P_{b}+c^{2}\, P_{c}}\ \ \ \ (16.3.3)
\]
Substituons (16.3.3) dans (16.3.1) pour avoir \(\mathbf{L}\) en fonction des impulsions :
\[
\mathbf{L= \dfrac{a^{2}}{2}\, P_{a}^{\,\, 2} +\dfrac{b^{2}}{2}\, P_{b}^{\,\, 2} + \dfrac{c^{2}}{2}\, P_{c}^{\,\, 2}
+\, a\, b\, P_{a}\, P_{b}+\, a\, c\, P_{a}\, P_{c}+\, (2+b\, c)\, \, P_{b}\, P_{c} }\ \ \ \ (16.3.4)
\]
Ce qui permet d'avoir un Hamiltonien complexe :
\[
\mathbf{H=\dfrac{a^{2}}{2}\,P_{a}\,^{\star}\, P_{a} +\dfrac{b^{2}}{2}\, P_{b}\,^{\star}\,P_{b} + \dfrac{c^{2}}{2}\, P_{c}\,^{\star}\, P_{c}
+\dfrac{ a\, b}{2}\, \left (P_{a}\,^{\star}\, P_{b}+P_{b}\,^{\star}\, P_{a}\right )+\dfrac{a\, c}{2}\,\left ( P_{a}\,^{\star}\, P_{c}+P_{c}\,^{\star}\, P_{a}\right )+\dfrac{(2+b\, c)}{2}\,\left ( P_{b}\,^{\star}\, P_{c}+P_{c}\,^{\star}\, P_{b}\right ) }\ \ \ \ (16.3.5)
\]
Sans la valeur absolue(qui ne change rien au final) la mesure d'intégration est \(\mathbf{da\, db\, dc/2\, a}\). \(\mathbf{(16.3.6)}\)
Prenons notre courage à deux mains pour écrire la fonctionnelle de Schrödinger :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \left [\hspace{5mm}\dfrac{a^{2}}{2}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial a}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial a}}{\Psi}
+\dfrac{b^{2}}{2}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial b}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial b}}{\Psi}
+\dfrac{c^{2}}{2}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial c}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial c}}{\Psi}\\
\hspace{36mm}+\dfrac{a\, b}{2}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial a}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial b}}{\Psi}
+\dfrac{a\, b}{2}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial b}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial a}}{\Psi}\\
\hspace{36mm}+\dfrac{a\, c}{2}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial a}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial c}}{\Psi}
+\dfrac{a\, c}{2}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial c}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial a}}{\Psi}\\
\hspace{36mm}+\dfrac{(2+b\, c)}{2}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial b}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial c}}{\Psi}
+\dfrac{(2+b\, c)}{2}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial c}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial b}}{\Psi}\\
\hspace{36mm}-i\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}}{\Psi}
\right]\, \Psi^{\star}\, \Psi \, \dfrac{da\, db\, dc}{2\, a}\ \ \ \ (16.3.7)}
\]
Faisons entrer le terme \(\mathbf{\Psi^{\star}\, \Psi\, da\, db\, dc/2\, a }\) dans le crochet :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \left [\hspace{5mm}\dfrac{a}{4}\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial a}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial a}
+\dfrac{b^{2}}{4\, a}\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial b}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial b}
+\dfrac{c^{2}}{4\, a}\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial c}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial c}\\
\hspace{36mm}+\dfrac{b}{4}\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial a}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial b}
+\dfrac{b}{4}\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial b}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial a}\\
\hspace{36mm}+\dfrac{c}{4}\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial a}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial c}
+\dfrac{c}{4}\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial c}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial a}\\
\hspace{36mm}+\dfrac{(2+b\, c)}{4\, a}\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial b}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial c}
+\dfrac{(2+b\, c)}{4\, a}\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial c}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial b}\\
\hspace{36mm}-\dfrac{i}{2\, a}\, \Psi^{\star}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}
\right] da\, db\, dc\ \ \ \ (16.3.8)}
\]
La grandeur \(\mathbf{u}\) entre crochets doit vérifier les équations d'Euler-Lagrange afin de minimiser la fonctionnelle :
\[
\mathbf{\dfrac{\partial u}{\partial \Psi^{\star}}
-\dfrac{\partial}{\partial a}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial a}\right )} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial b}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial b}\right )} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial c}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial c}\right )} \right )
+\dfrac{\partial}{\partial t}\,\underbrace {\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial t}\right )}\right )}_{=0}=0}\ \ \ \ (16.3.9)
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{-\dfrac{i}{2\, a}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}}\\
\mathbf{-\dfrac{\partial}{\partial a} \left (\dfrac{a}{4}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial a}+\dfrac{b}{4}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial b}+ \dfrac{c}{4}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial c} \right )}\\
\mathbf{-\dfrac{\partial}{\partial b}\left ( \dfrac{a^{2}}{4\, a}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial b}+\dfrac{b}{4}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial a}+ \dfrac{(2+b\, c)}{4\, a}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial c} \right )}\\
\mathbf{-\dfrac{\partial}{\partial c} \left ( \dfrac{c^{2}}{4\, a}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial c}+\dfrac{c}{4}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial a}+ \dfrac{(2+b\, c)}{4\, a}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial b} \right )}\\
\mathbf{=0 \ \ \ \ (16.3.10)}
\]
soit :
\[
\mathbf{-\dfrac{i}{2\, a}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}}\\
\mathbf{-\left (\dfrac{1}{4}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial a}+\dfrac{a}{4}\, \dfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial a^{2}}
+\dfrac{b}{4}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial a\, \partial b}+\dfrac{c}{4}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial a\, \partial c}\right )}\\
\mathbf{-\left (\dfrac{b}{2\, a}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial b}+\dfrac{b^{2}}{4\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial b \partial c}+\dfrac{1}{4}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial a}
+\dfrac{b}{4}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial a\partial b}+\dfrac{c}{4\, a}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial c}+\dfrac{(2+b\, c)}{4\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial b \partial c} \right )}\\
\mathbf{-\left (\dfrac{c}{2\, a}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial c}+\dfrac{1}{4}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial a}+\dfrac{c}{4}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial a\partial c}
+\dfrac{b}{4\, a}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial b}+\dfrac{(2+b\, c)}{4\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial b \partial c}+\dfrac{c^{2}}{4\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial c^{2}} \right )}\\
\mathbf{=0 \ \ \ \ (16.3.11)}
\]
Finalement :
\[
\boxed{\mathbf{i\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}=-\dfrac{1}{2}\left(\underbrace{a^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial a^{2}}+b^{2}\,\dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial b^{2}}+c^{2}\dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial c^{2}}
+2\, a\, b\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial a\partial b}+2\, a\, c\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial a\partial c}+2\,(2+b\, c)\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial b\partial c}
+3\, a\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial a}+3\, b\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial b}+3\, c\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial c}}_{\Delta} \right )}}\ \ \ \ (16.3.12)
\]
Remarques
-L'oubli du terme \(\mathbf{2\, a}\) dans la mesure invariante provoque une erreur seulement sur le coefficient des trois derniers termes !
-La minimisation de la fonctionnelle devrait être justifiée, même en mécanique quantique.
-L'imaginaire \(\mathbf{i}\) est introduit pour suivre la mécanique quantique ; Peut-on s'en passer hors de ce cadre ?
-L'utilisation d'une fonction d'onde complexe permet l'invariance de jauge type Dirac ; A voir si ça peut être utile pour \(\mathbf{SL(2,\mathbb{R})}\).
Matrices de base
#Matrices x et 1/x
N=2
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
MS_SR_N_N=MatrixSpace(SR,N,N)
x=MS_SR_N_N([[x1,x2],[x3,(1+x2*x3)/x1]])
y=MS_SR_N_N()
y=x.inverse()
for i in srange(N):
for j in srange(N):
y[i,j]=y[i,j].simplify_rational().factor()
show("La matrice générale du groupe est :");show(LatexExpr(r"\mathbf{x=}"),x)
print('\n')
show("L'inverse de la matrice ci-dessus est :");show(LatexExpr(r"\mathbf{x^{-1}=}"),y)
Formes de Cartan invariantes par translation
#Calcul de x^-1 dx et dx x^-1
N=2;P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
x=matrix([[x1,x2],[x3,(1+x2*x3)/x1]])
y=x.inverse()
for i in srange(N):
for j in srange(N):
y[i,j]=y[i,j].simplify_rational().factor()
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU.< x1,x2,x3 > = U.chart()
f0=M.scalar_field({XU: 0},name='f0')
df0=f0.differential()
g0=M.scalar_field({XU: 0},name='g0')
t0=g0*df0
mg=[[t0.display(),t0.display()],[t0.display(),t0.display()]]
for i in srange(N):
for j in srange(N):
f1=M.scalar_field({XU: 0},name='f1')
df1=f1.differential()
g1=M.scalar_field({XU: 0},name='g1')
t=g1*df1
for k in srange(N):
f=M.scalar_field({XU: x[k,j]},name='f')
df=f.differential()
g=M.scalar_field({XU: y[i,k]},name='g')
t=t+g*df
for l in srange(N):
t[l]=t[l].factor()
mg[i][j]=t[:]
show("La matrice de Cartan invariante par translation à gauche est définie par",LatexExpr(r"\mathbf{\ \omega =x^{-1}\ dx}")+":")
show(LatexExpr(r"\mathbf{\omega =\ }"),mg)
md=[[t0.display(),t0.display()],[t0.display(),t0.display()]]
for i in srange(N):
for j in srange(N):
f1=M.scalar_field({XU: 0},name='f1')
df1=f1.differential()
g1=M.scalar_field({XU: 0},name='g1')
t=g1*df1
for k in srange(N):
f=M.scalar_field({XU: x[i,k]},name='f')
df=f.differential()
g=M.scalar_field({XU: y[k,j]},name='g')
t=t+df*g
for l in srange(N):
t[l]=t[l].factor()
md[i][j]=t[:]
show("La matrice de Cartan invariante par translation à droite est définie par",LatexExpr(r"\mathbf{\ \omega =dx\ x^{-1}}")+":")
show(LatexExpr(r"\mathbf{\omega =\ }"),md)
Formes et opérateurs invariants par translation
#Présentation des formes et des opérateurs
N=2;P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
Fg=matrix(SR,[[(1+x2*x3)/x1,0,-x2],[x2*(1+x2*x3)/x1^2,1/x1,-x2^2/x1],[-x3,0,x1]])
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU.< x1,x2,x3> = U.chart()
eU=XU.frame()
u1=M.one_form({eU: Fg[0]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{1}}"))
u2=M.one_form({eU: Fg[1]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{2}}"))
u3=M.one_form({eU: Fg[2]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{3}}"))
show("Les formes invariantes par translation à gauche sont :")
show(u1.display())
show(u2.display())
show(u3.display())
show("On en déduit une matrice des formes :");show(LatexExpr(r"\Omega\ ="),Fg)
Gg=Fg.inverse()
for i in srange(P):
for j in srange(P):
Gg[i,j]=Gg[i,j].simplify_rational().factor()
show("Par inversion, on obtient la matrice des opérateurs :");show(LatexExpr(r"X\ ="),Gg)
v1=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{1}}"));v1[eU,:] = Gg.transpose()[0]
v2=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{2}}"));v2[eU,:] = Gg.transpose()[1]
v3=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{3}}"));v3[eU,:] = Gg.transpose()[2]
show("Les vecteurs tangents invariants par translation à gauche sont :")
show(v1.display())
show(v2.display())
show(v3.display())
Fd=matrix(SR,[[(1+x2*x3)/x1,-x3,0],[-x2,x1,0],[x3*(1+x2*x3)/x1^2,-x3^2/x1,1/x1]])
u1=M.one_form({eU: Fd[0]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{1}}"))
u2=M.one_form({eU: Fd[1]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{2}}"))
u3=M.one_form({eU: Fd[2]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{3}}"))
show("Les formes invariantes par translation à droite sont :")
show(u1.display())
show(u2.display())
show(u3.display())
show("On en déduit une matrice des formes :");show(LatexExpr(r"\Omega\ ="),Fd)
Gd=Fd.inverse()
for i in srange(P):
for j in srange(P):
Gd[i,j]=Gd[i,j].simplify_rational().factor()
show("Par inversion, on obtient la matrice des opérateurs :");show(LatexExpr(r"X\ ="),Gd)
v1=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{1}}"));v1[eU,:] = Gd.transpose()[0]
v2=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{2}}"));v2[eU,:] = Gd.transpose()[1]
v3=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{3}}"));v3[eU,:] = Gd.transpose()[2]
show("Les vecteurs tangents invariants par translation à droite sont :")
show(v1.display())
show(v2.display())
show(v3.display())
Tenseur métrique
#Tenseur métrique
N=2;P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
x=matrix([[x1,x2],[x3,(1+x2*x3)/x1]])
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU.< x1,x2,x3 > = U.chart()
f0=M.scalar_field({XU: 0},name='f0')
df0=f0.differential()
g0=M.scalar_field({XU: 0},name='g0')
t0=g0*df0
m1=[[t0,t0],[t0,t0]]
m2=[[t0,t0],[t0,t0]]
m3=[[t0*t0,t0*t0],[t0*t0,t0*t0]]
for i in srange(N):
for j in srange(N):
f1=M.scalar_field({XU: x[i,j]},name='f1')
df1=f1.differential()
g1=M.scalar_field({XU: 1},name='g1')
t1=g1*df1
for l in srange(N):
t1[l]=t1[l].factor()
m1[i][j]=t1
y=x.inverse()
for i in srange(N):
for j in srange(N):
y[i,j]=y[i,j].simplify_rational().factor()
for i in srange(N):
for j in srange(N):
f2=M.scalar_field({XU: y[i,j]},name='f2')
df2=f2.differential()
g2=M.scalar_field({XU: 1},name='g2')
t2=g2*df2
for l in srange(N):
t2[l]=t2[l].factor()
m2[i][j]=t2
for i in srange(N):
for j in srange(N):
q=t0*t0
for k in srange(N):
q=q+m1[i][k]*m2[k][j]
m3[i][j]=-q/2
g=t0*t0
for l in srange(N):
g=g+m3[l][l]
for i in srange(P):
for j in srange(P):
g[i,j]=g[i,j].factor()
show("Le tenseur métrique, défini par",LatexExpr(r"\mathbf{\ \ g=-\ \dfrac{1}{2}\,trace(dx\ dx^{-1})}"),",","est donné par le tableau")
show("g ="," ",g[:])
Connexion de Levi-Civita
#Connexion de Levi-Civita
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
m=matrix([[(1+x2*x3)/x1^2,-x3/(2*x1),-x2/(2*x1)],[-x3/(2*x1),0,1/2],[-x2/(2*x1),1/2,0]])
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU.< x1,x2,x3 > = U.chart()
g=M.metric('g')
for i in srange(P):
for j in srange(P):
g[i,j]=m[i,j]
show("Le tenseur métrique de SL(2,R) est :");show(g.display())
show("Ou bien sous forme de tableau :");show(LatexExpr(r"\mathbf{g =}"),g[:])
nab=g.connection()
for i in srange(P):
for j in srange(P):
for k in srange(P):
nab[i,j,k]=nab[i,j,k].factor()
show("Les symboles de Christoffel non nuls sont :");show(nab.display())
show("La liste suivante permet de constituer une matrice de connexion :");show(LatexExpr(r"\mathbf{\Gamma\ =}"),nab.coef()[:])
Courbures
#Calcul des différentes courbures
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
m=matrix([[(1+x2*x3)/x1^2,-x3/(2*x1),-x2/(2*x1)],[-x3/(2*x1),0,1/2],[-x2/(2*x1),1/2,0]])
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU.< x1,x2,x3 > = U.chart()
g=M.metric('g')
for i in srange(P):
for j in srange(P):
g[i,j]=m[i,j]
Riem = g.riemann()
show("le tenseur de courbure de Riemann est :");show(Riem.display())
Ric = g.ricci()
show("Le tenseur de Ricci est :");show(Ric.display())
R=g.ricci_scalar()
RU = R.coord_function(XU)
show("La courbure scalaire est :");show("R=",RU(x1,x2,x3))
Surfaces de nivean de la fonction trace
# Trace constante
x,y,z=var('x,y,z')
h=lambda x,y,z: x^2+y^2-z^2+1-t^2/4
for t in [0,2,5]:
g=implicit_plot3d(h,(x,-5,5),(y,-5,5),(z,-4,4),plot_points=50,color='cyan')
g=g+arrow3d((-6,0,0),(6,0,0),radius=0.1,color='magenta')
g=g+arrow3d((0,-6,0),(0,6,0),radius=0.1,color='magenta')
g=g+arrow3d((0,0,-5),(0,0,5),radius=0.1,color='magenta')
g=g+text3d("x",(6,1,0),color=(0,0,0))
g=g+text3d("y",(1,6,0),color=(0,0,0))
g=g+text3d("z",(0,1,5),color=(0,0,0))
print("Surface de niveau pour t="+str(t))
g.show(frame=True)
Conjugaison de Hodge
#Conjugaison de Hodge pour SL(2,R)
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
M=Manifold(P,'M')
XM.<x1,x2,x3>= M.chart()
m=matrix([[(1+x2*x3)/x1^2,-x3/(2*x1),-x2/(2*x1)],[-x3/(2*x1),0,1/2],[-x2/(2*x1),1/2,0]])
g = M.metric('g')
for i in srange(P):
for j in srange(P):
g[i,j]=m[i,j]
print("Le tenseur métrique de SL(2,R) est :");show(g.display())
print("Ou bien sous forme de matrice :");show(LatexExpr(r"\mathbf{g =}"),g[:])
print("Le déterminant de g vaut :")
show(m.det().simplify_rational())
om1 = M.one_form(name='omega1', latex_name=r'\omega^{1}')
om1[:]=[1,0,0]
show(om1.display())
om2 = M.one_form(name='omega2', latex_name=r'\omega^{2}')
om2[:]=[0,1,0]
show(om2.display())
om3 = M.one_form(name='omega3', latex_name=r'\omega^{3}')
om3[:]=[0,0,1]
show(om3.display())
print("Voici la liste des conjuguées de Hodge des formes de base :")
om0=M.scalar_field({XM: 1},name='1').hodge_dual(g)
show(om0.display())
om1dual=om1.hodge_dual(g)
show(om1dual.display())
om2dual=om2.hodge_dual(g)
show(om2dual.display())
om3dual=om3.hodge_dual(g)
show(om3dual.display())
om12dual=(om1.wedge(om2)).hodge_dual(g)
show(om12dual.display())
om23dual=(om2.wedge(om3)).hodge_dual(g)
show(om23dual.display())
om31dual=(om1.wedge(om3)).hodge_dual(g)
show(om31dual.display())
p = M.point((x1,x2,x3), name='p')
om123=(om1.wedge(om2)).wedge(om3)
om123dual=om123.hodge_dual(g)
show(om123dual(p))
Forme volume
#Forme volume
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
m=matrix([[(1+x2*x3)/x1^2,-x3/(2*x1),-x2/(2*x1)],[-x3/(2*x1),0,1/2],[-x2/(2*x1),1/2,0]])
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU. = U.chart()
g=M.metric('g')
for i in range(3):
for j in range(3):
g[i,j]=m[i,j]
eps = g.volume_form()
show(eps.display())
Laplacien
#Laplacien
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
m=matrix([[(1+x2*x3)/x1^2,-x3/(2*x1),-x2/(2*x1)],[-x3/(2*x1),0,1/2],[-x2/(2*x1),1/2,0]])
M=Manifold(P,'M')
XM.<x1,x2,x3>= M.chart()
g=M.metric('g')
for i in range(P):
for j in range(P):
g[i,j]=m[i,j]
F=M.scalar_field(function('F')(x1,x2,x3),name='F')
Delta_F=F.laplacian(g)
show(Delta_F.display())
Laplacien de la trace
#Laplacien de la trace
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
m=matrix([[(1+x2*x3)/x1^2,-x3/(2*x1),-x2/(2*x1)],[-x3/(2*x1),0,1/2],[-x2/(2*x1),1/2,0]])
M=Manifold(P,'M')
XM. = M.chart()
g=M.metric('g')
for i in range(P):
for j in range(P):
g[i,j]=m[i,j]
trace= x1+(1+x2*x3)/x1
t=M.scalar_field(trace,name='t')
print("La trace de la matrice est :")
show("t= ",trace)
Delta_t=t.laplacian(g)
print("Le Laplacien de la trace est :")
show(Delta_t.display())
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