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2. Evolution temporelle d'un opérateur
3. Origine de l'équation de Schrödinger
1.1 Introduction
On définit le symbole de l'opérateur différentiel \(\mathbf{\hat O}\) par :
\[\small{\mathbf{\sigma(x,p)=\ \exp\left(\dfrac{-i\,p\,x}{\hbar}\right )\,\hat O\,\exp\left (\dfrac{i\,p\,x}{\hbar}\right )}}\ .\ \ (1.1.1)\]
Si par exemple on prend :
\[\small{\mathbf{\hat O\,:=\,-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}}};\ \ \ (1.1.2)\]
On obtient :
\[\small{\mathbf{\sigma(x,p)=p.}}\ \ \ (1.1.3)\]
Le symbole permet de reconstituer l'opérateur grâce à la transformée de Fourier inverse :
\[\small{\mathbf{\hat O\,(f(x))\,=\,\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi\,\hbar}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\ \sigma(x,p)\,F(p)\,\exp\left (\dfrac{i\,p\,x}{\hbar}\right )\,dp}\ .\ (1.1.4)}\]
Dans les applications on remplacera \(\small{\mathbf{p}}\) par \(\small{\mathbf{-i\,\hbar \,K}}\).
On souhaite obtenir les niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique et de l'atome d'hydrogème en théorie quantique.
Pour rappel la particule quantique vérifie l'équation Schrödinger dépendante du temps :
\[\small{\mathbf{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\Delta\Psi(x,t) + V(x)\Psi(x,t)=i\hbar \dfrac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}}\ .\ \ (1.1.5)}\]
Si le potentiel est considéré comme indépendant du temps ; Posons :
\[\small{\mathbf{\Psi(x,t)=\Phi(x)\,\exp\left (\dfrac{-i\,E\,t}{\hbar}\right )}\ .\ (1.1.6)}\]
En substituant (1.1.6) dans (1.1.5) il vient :
\[\small{\mathbf{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\Delta\Phi(x) + V(x)\Psi(x)=E\,\Phi(x)}\ .\ \ (1.1.7)}\]
1.2 Application à l'oscillateur harmonique
Pour l'oscillateur harmonique, l'équation de Schrödinger devient :
\[\small{\mathbf{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\,\dfrac{d^{2}\, \Phi(x)}{dx^{2}} + \dfrac{1}{2}\,m\, {\omega^{2}}\, x^{2}\,\Phi(x)=E\,\Phi(x)}\ .\ \ (1.2.1)}\]
Si l'on pose :
\[\small{\mathbf{\Phi(x)=A\,\exp\left (\dfrac{-m\,\omega\,x^{2}}{2\,\hbar}\right )\,P(x)}\ ;\ (1.2.2)}\]
La partie polynômiale \(\small{\mathbf{P(x)}}\) annule l'opérateur différentiel :
\[\small{\mathbf{\hat L=-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\,\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}+\,\hbar\,\omega\,x\dfrac{d}{dx}+\left (\dfrac{\hbar\,\omega}{2}-E\right )}\ .\ \ (1.2.3)}\]
Introduisons le symbole :
\[\small{\mathbf{\sigma(x,K)=\exp(-K\,x)\,\hat L\,\exp(K\,x)}\ ;\ (1.2.4)}\]
\[\small{\mathbf{\sigma(x,K)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\,K^2+\hbar\,\omega\,x\,K+\left (\dfrac{\hbar\,\omega}{2}-E\right )}\ .\ (1.2.5)}\]
L'annulation du symbole donne une équation du second degré en le nombre d'onde \(\small{\mathbf{K}}\). La plus petite des racines est :
\[\small{\mathbf{K=\,\dfrac{m\omega\,x}{\hbar}\,\left (1-\sqrt{1+\dfrac{2}{m\omega^2\,x^{2}}\,\left (\dfrac{\hbar\omega}{2}-E\right )}\ \right )}\ .\ (1.2.6)}\]
Pour \(\small{\mathbf{x}}\) tendant vers l'infini, on obtient le développement asymptotique :
\[\small{\mathbf{K\sim\, \dfrac{-1}{\hbar\,\omega\,x}\,\left (\dfrac{\hbar\omega}{2}-E\right )}\ .\ (1.2.7)}\]
Nous avons utilisé pour \(\small{\mathbf{\epsilon}}\) petit devant 1 la relation \(\small{\mathbf{\sqrt{1+\epsilon}\sim\, 1+\dfrac{\epsilon}{2}}}\).
Choisissons un comportement pour (1.2.7) du type :
\[\small{\mathbf{K\sim\,\dfrac{n}{x}} \,\, ;\ (1.2.8)}\]
\(\small{\mathbf{n}}\) est un entier positif ou nul.
La comparaison des relations (1.2.7) et (1.2.8) implique :
\[\small{\boxed{\mathbf{E_{n}\,=\,\hbar\omega\,\left (n+\dfrac{1}{2}\right )}}\ .\ (1.2.9)}\]
On peut aussi considérer l'annulation de (1.2.5) comme une équation du premier degré en \(\small{\mathbf{x}}\) :
\[\small{\mathbf{x=\dfrac{\hbar \, K}{2\, m\, \omega} +\, \dfrac{\left (E-\dfrac{\hbar \, \omega}{2} \right )}{\hbar \, \omega \, K}}\ .\ (1.2.10)}\]
En exigeant que \(\small{\mathbf{x}}\) soit en \(\small{\mathbf{n/K}}\) pour \(\small{\mathbf{K}}\) tendant vers \(\small{\mathbf{0}}\), il vient
\[
\small{\mathbf{\dfrac{n}{K}=\dfrac{\left (E-\dfrac{\hbar \, \omega}{2} \right )}{\hbar \, \omega \, K}}\ .\ (1.2.11)}\]
Ce qui implique
\[
\small{\mathbf{\left (E-\dfrac{\hbar \, \omega}{2} \right )=\, n\, \hbar \, \omega}\ .\ (1.2.12)}\]
On retrouve la relation (1.2.9).
Afin de voir si la méthode passe à la perturbation, nous allons considérer le cas de l'oscillateur chargé
en présence d'un champ électrique tel que la perturbation soit petite par rapport au potentiel.
La nouvelle équation de Schrödinger est :
\[\small{\mathbf{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\,\dfrac{d^{2}\, \Phi(x)}{dx^{2}} + \dfrac{1}{2}\,m\, {\omega^{2}}\, x^{2}\,\Phi(x)-q\, \mathscr{E}\, x\, \Phi(x)=E^{'}\,\Phi(x)}\ .\ \ (1.2.13)}\]
Modifions :
\[\small{\mathbf{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\,\dfrac{d^{2}\, \Phi(x)}{dx^{2}} + \dfrac{1}{2}\,m\, {\omega^{2}}\, (x-\dfrac{q\, \mathscr{E}}{m\, \omega^{2}})^{2}\,\Phi(x)
-\dfrac{q^{2}\, \mathscr{E}^{2}}{2\, m\, \omega^{2}}\,\Phi(x) =E^{'}\,\Phi(x)}\ .\ \ (1.2.14)}\]
Posons \(\small{\mathbf{u=x-\dfrac{q\, \mathscr{E}}{m\, \omega^{2}}}} \) et \(\small{\mathbf{\Phi(x)=\varphi(u)}}\), l'équation devient :
\[\small{\mathbf{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\,\dfrac{d^{2}\, \varphi(u)}{du^{2}} + \dfrac{1}{2}\,m\, {\omega^{2}}\, u^{2}\,\varphi(u)=\left (E^{'}+\dfrac{q^{2}\, \mathscr{E}^{2}}{2\, m\, \omega^{2}} \right )\,\varphi(u)}\ .\ \ (1.2.15)}\]
Nous sommes ramenés à l'oscillateur harmonique non perturbé :
\[
\small{\mathbf{E^{'}+\dfrac{q^{2}\, \mathscr{E}^{2}}{m\, \omega^{2}}=\,\hbar\omega\,\left (n+\dfrac{1}{2}\right )}}
\]
donc
\[\small{\boxed{\mathbf{E^{'}_{n}\,=\,\hbar\omega\,\left (n+\dfrac{1}{2}\right )-\dfrac{q^{2}\, \mathscr{E}^{2}}{2\, m\, \omega^{2}} }}\ .\ (1.2.16)}\]
Le polynôme perturbé doit maintenant annuler :
\[
\small{\mathbf{\hat L^{'}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\,\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}+\,\hbar\,\omega\,x\dfrac{d}{dx}+\left (\dfrac{\hbar\,\omega}{2}-E^{'}-q\, \mathscr{E}\, x\right )}\ .\ \ (1.2.17)}
\]
Introduisons le nouveau symbole :
\[\small{\mathbf{\sigma^{'}(x,K)=\exp(-K\,x)\,\hat L^{'}\,\exp(K\,x)}\ ;\ (1.2.18)}\]
\[\small{\mathbf{\sigma^{'}(x,K)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\,K^2+\hbar\,\omega\,x\,K+\left (\dfrac{\hbar\,\omega}{2}-E^{'}-q\, \mathscr{E}\, x\right )}\ .\ (1.2.19)}\]
De nouveau la plus petite des racines est :
\[\small{\mathbf{K^{'}=\,\dfrac{m\omega\,x}{\hbar}\,\left (1-\sqrt{1+\dfrac{2}{m\omega^2\,x^{2}}\,\left (\dfrac{\hbar\omega}{2}-E^{'}-q\, \mathscr{E}\, x\right )}\ \right )}\ .\ (1.2.20)}\]
Pour \(\small{\mathbf{x}}\) tendant vers l'infini, on obtient le développement asymptotique :
\[\small{\mathbf{K^{'}\sim\, \dfrac{m\, \omega \, x}{\hbar}\,\left (1-\left (1+\dfrac{1}{m\, \omega^{2}\, x^{2}}\left (\dfrac{\hbar\omega}{2}-E^{'}-q\, \mathscr{E}\, x\right )-\dfrac{1}{2\, m^{2}\omega^{4}\, x^{4}}\, \left (\dfrac{\hbar\omega}{2}-E^{'}-q\, \mathscr{E}\, x\right )^{2}\right )\right )}\ .\ (1.2.21)}\]
\[\small{\mathbf{K^{'}\sim\, \dfrac{m\, \omega}{\hbar}\,\left (-\dfrac{1}{m\, \omega^{2}\, x}\left (\dfrac{\hbar\omega}{2}-E^{'}-q\, \mathscr{E}\, x\right )+\dfrac{1}{2\, m^{2}\omega^{4}\, x^{3}}\, \left (\dfrac{\hbar\omega}{2}-E^{'}-q\, \mathscr{E}\, x\right )^{2}\right )}\ .\ (1.2.22)}\]
\[\small{\mathbf{K^{'}\sim\,\dfrac{q\, \mathscr{E}}{\hbar\, \omega}-\dfrac{1}{\hbar\, \omega\, x}\left (\dfrac{\hbar\omega}{2}-E^{'}-\dfrac{q^{2}\, \mathscr{E}^{2}}{2\, m\, \omega^{2}} \right )}}\ .\ (1.2.23)\]
Nous allons conserver dans l'expression (1.2.23) les termes en \(\small{\mathbf{1}}\) et \(\small{\mathbf{x^{-1}}}\) ; On obtient :
Nous avons utilisé pour \(\small{\mathbf{\epsilon}}\) petit devant 1 la relation \(\small{\mathbf{\sqrt{1+\epsilon}\sim\, 1+\dfrac{\epsilon}{2}-\dfrac{\epsilon^{2}}{8}}}\).
Choisissons un comportement pour (1.2.23) du type :
\[\small{\mathbf{K^{'}\sim\, \dfrac{q\, \mathscr{E}}{\hbar \, \omega}+\dfrac{n}{x}} \,\, ;\ (1.2.24)}\]
\(\small{\mathbf{n}}\) est un entier positif ou nul.
La comparaison des relations (1.2.23) et (1.2.24) implique :
\[\small{\boxed{\mathbf{E^{'}_{n}\,=\,\hbar\omega\,\left (n+\dfrac{1}{2}\right )-\dfrac{q^{2}\, \mathscr{E}^{2}}{2\, m\, \omega^{2}} }}\ .\ (1.2.25)}\]
Si la perturbation est en \(\small{\mathbf{x^{2}}}\) la méthode fonctionne, bien qu'une solution exacte existe.
Par contre si la perturbation est en \(\small{\mathbf{x^{3}}}\) la méthode ne semble pas fonctionner car la perturbation est prépondérante.
1.3 Application à l'atome d'hydrogène
Considérons l'équation différentielle vérifiée par la fonction radiale\(\,\mathbf{R(r)}\) dépendant
du nombre quantique azimuthal\(\,\mathbf{l}\,\) :
\[\small{\mathbf{\dfrac{d^2\,R(r)}{dr^2}\,+\dfrac{2}{r}\,\dfrac{d\,R(r)}{dr}+\,\left (\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,
\hbar^2\,r}-\dfrac{l(l+1)}{r^2}+\dfrac{2\,m\,E}{\hbar^2}\right )\,R(r)\,=\,0}\ .\,(1.3.1)}\]
Posons :
\[\small{\mathbf{R(r)=\exp{\left (-\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ r\right )}\,r^{l}\,F(r)}\ ;\,(1.3.2)}\]
La fonction \(\mathbf{F(r)}\)vérifie l'équation différentielle :
\[\small{\mathbf{\dfrac{d^2\,F(r)}{dr^2}\,+2\,\left (\dfrac{l+1}{r}-\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right )\,\dfrac{d\,F(r)}{dr}
+\,\dfrac{1}{r}\left (\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,
\hbar^2}\,-2\,(l+1)\,\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right )\,F(r)\,=\,0}.\,(1.3.3)}\]
La fonction \(\mathbf{F(r)}\)annule l'opérateur différentiel :,
\[\small{\mathbf{\hat L=\dfrac{d^2}{dr^2}\,+2\,\left (\dfrac{l+1}{r}-\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right )\,\dfrac{d}{dr}
+\,\dfrac{1}{r}\left (\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,
\hbar^2}\,-2\,(l+1)\,\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right)}\ .\,(1.3.4)}\]
Introduisons le symbole :
\[\small{\mathbf{\sigma(r,k)=\exp(-k\,r)\,\hat L\,\exp(k\,r)}\ ;\ (1.3.5)}\]
\[\small{\mathbf{\sigma(r,k)=k^2+2\,\left (\dfrac{l+1}{r}- \sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right )\,k+\,\dfrac{1}{r}\left (\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,
\hbar^2}\,-2\,(l+1)\,\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right )}\ .\,(1.3.6)}\]
L'annulation du symbole donne une équation du second degré en le nombre d'onde \(\mathbf{k}\).La plus petite des racines est :
\[\small{\mathbf{k=-\dfrac{(l+1)}{r}+\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}} -\sqrt{-\dfrac{2\,m\,E}{\hbar^2}-\,\dfrac{m\,e^2}{2\pi\,\epsilon_0\,\hbar^2\,r}-\,\dfrac{(l+1)^2}{r^2}}}\ .\ (1.3.7)}\]
Pour \(\mathbf{r}\) tendant vers l'infini, on obtient le développement asymptotique :
\[\small{\mathbf{k\sim\,-\dfrac{(l+1)}{r}\,+\dfrac{\sqrt{2\,m}\,e^2}{8\,\pi\,\epsilon_0\,\hbar\,\sqrt{-E}\,\,r}} \ .\ (1.3.8)}\]
Choisissons un comportement pour (1.3.8) du type :
\[\small{\mathbf{k\sim\,\dfrac{s-1}{r}}\ .\ (1.3.9)}\]
\(\mathbf{s}\) est un entier supérieur ou égal à 1.Si on pose \(\mathbf{n=s+l}\), la comparaison des relations (1.3.8) et (1.3.9) implique :
\[\small{\boxed{\mathbf{E_{n}\,=-\dfrac{m\,e^4}{32\,\pi^2\,\epsilon_0^2\,\hbar^2\,n^2}}}\ .\ (1.3.10)}\]
On peut aussi considérer l'annulation de (1.3.6) comme une équation du premier degré en \(\mathbf{r}\) :
\[
\small{\mathbf{\dfrac{1}{r}\, \left (2\, (l+1)\, K +\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,\hbar^2} -2\, (l+1)\,\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^{2}}} \right )=\, 2\, \sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^{2}}}\, K-K^{2}}\ .\ (1.3.11)}
\]
On veut que \(\small{\mathbf{r}}\) soit en \(\small{\mathbf{(k-1)/K}}\) puis on néglige les termes en \(\small{\mathbf{K^{2}}}\) dans l'expression ci-dessus, il vient :
\[
\small{\mathbf{\dfrac{\require{cancel}\cancel{K}}{k-1}\, \left (\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,\hbar^{2}}-2\, (l+1)\, \sqrt{-\dfrac{2\,m\,E}{\hbar^{2}}} \right )=\, 2\, \sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^{2}}}\, \require{cancel}\cancel{ K}}\ ; (1.3.12)}
\]
soit
\[
\small{\mathbf{\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,\hbar^{2}} =\, 2\, \underbrace{(k+l)}_{n}\,\sqrt{-\dfrac{2\,m\,E}{\hbar^{2}}} }\ .\ (1.3.13)}
\]
Après élévation au carré on retrouve (1.3.10).
2.1 Différentielle quantique
La différentielle quantique d'un opérateur \(\mathbf{\hat A}\) est calquée sur la relation d'Ehrenfest :
\[\mathbf{\dfrac{d < \Psi\left|\hat A\right|\Psi >}{dt}=\frac{i}{\hbar} < \Psi |[\hat H\, ,\hat A]|\Psi > + < \Psi \left |\dfrac{\partial \hat A}{\partial t}\right |\Psi >}\ .\ \ (2.1.1)\]
On va multiplier par \(\mathbf{dt}\) les deux membres de l'équation (2.1.1) et oublier l'état \(\mathbf{|\Psi >}\)et donc ne raisonner que sur les opérateurs.
La définition de la différentielle quantique de \(\mathbf{\hat A}\) est donc :
\[\mathbf{d\hat A\,:=\frac{i}{\hbar} \,\left [\hat H\,-i\,\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\, ,\hat A\right ]\,dt}\ .\ \ (2.1.2)\]
Le Hamiltonien de la théorie de Schrödinger est donné par l'expression :
\[
\mathbf{\hat{H}=\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right )^{2}+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,y}-q\,A_{\small y}\right )^{2}+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,z}-q\,A_{\small z}\right )^{2} \ + q\,V}\ .\ \ (2.1.3)
\]
Donnons les différences quantiques des coordonnées spatiales :
\[
\begin{align}
&\mathbf{d\hat{x}=\dfrac{\left (-i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right )}{m}\ dt}\\
&\mathbf{d\hat{y}=\dfrac{\left (-i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\,y}-q\,A_{\small y}\right )}{m}\ dt}\\
&\mathbf{d\hat{z}=\dfrac{\left (-i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\,z}-q\,A_{\small z}\right )}{m}\ dt}\ .\ \ (2.1.4)
\end{align}
\]
Les relations (2.1.4) traduisent le lien entre vitesse et quantité de mouvement.La différence quantique du
temps \(\mathbf{d\hat{t}}\) est égale à \(\mathbf{dt}\).
Le calcul des différences quantiques des quantités de mouvement est long et instructif.
Pour la projection suivant l'axe des x, on obtient :
\[
\begin{align}
\mathbf{d\hat{p_{\small x}}}
&\mathbf{=\dfrac{i}{\hbar} \,\left [\hat{H}\,-i\,\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\, ,\hat{p_{\small x}}\right ]\,dt}\\
&\mathbf{=\dfrac{i}{\hbar} \,\left [\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right )^{2}
+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,y}-q\,A_{\small y}\right )^{2}
+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,z}-q\,A_{\small z}\right )^{2}
+ q\,V
-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t},
\ -i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right ]dt}\\
&\mathbf{=q\left (-\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial t}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (-2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}-i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small y}}{\partial x\partial y}-2\,q\,A_{\small y}\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (-2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial z}-i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small z}}{\partial x\partial z}-2\,q\,A_{\small z}\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\dfrac{\partial}{\partial y}+i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small x}}{\partial y^{2}}+2\,q\,A_{\small y}\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}\dfrac{\partial}{\partial z}+i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small x}}{\partial z^{2}}+2\,q\,A_{\small z}\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}\right )\ dt}\ .\ \ (2.1.5)
\end{align}
\]
Pour obtenir la deuxième loi de Newton, il faut comparer (2.1.5) avec la percussion suivant l'axe des x,soit classiquement :
\[
\mathbf{F_{\small x}\,dt= q\,E_{\small x}\,dt+q(dy\,B_{\small z}-dz\,B_{\small y})}\ .\ \ (2.1.6)
\]
La quantification de (2.1.6) se fait en :
-remplaçant les différentielles classiques par les différentielles quantiques ;
-symétrisant les opérateurs.
Ce qui donne :
\[
\mathbf{\widehat{F_{\small x}\,dt}= q\,E_{\small x}\,d\hat{t}+\dfrac{q}{2}(d\hat{y}\,B_{\small z}+B_{\small z}d\hat{y}-d\hat{z}\,B_{\small y}-B_{\small y}d\hat{z})}\ .\ \ (2.1.7)
\]
En utilisant (2.4) et les relations donnant les champs en fonction des potentiels( voir annexe à la fin), on obtient :
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{F_{\small x}\,dt}\,=}
&\mathbf{\ \ q\left (-\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial t}\right )\ dt}\\
&\mathbf{ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial y}-q\,A_{\small y}\right )\left (\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\right )+\left (\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\right )\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial y}-q\,A_{\small y}\right )\right )\ dt}\\
&\mathbf{ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial z}-q\,A_{\small z}\right )\left (\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\right )-\left (\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\right )\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial z}-q\,A_{\small z}\right )\right )\ dt}\ .\ \ (2.1.8)
\end{align}
\]
Le développement de (2.1.8) est égal à (2.1.5), ce qui permet d'écrire en regroupant les trois directions :
\[
\boxed{\mathbf{d\hat{\vec{p}}=\widehat{\vec{{F}}\,dt}}}\ .\ \ (2.1.9)
\]
Pour ce qui est du théorème de l'énergie cinétique, il faudra calculer l'équivalent quantique de \(\mathbf{\vec{F}.\vec{v}\,dt}\), soit :
\[
\mathbf{q\,(E_{\small x}\,dx+E_{\small y}\,dy+E_{\small z}\,dz)}\ .\ \ (2.1.10)
\]
Il faut remplacer les différentielles classiques par les opérateurs (2.4) et faire l'opération de symétrisation, on obtient :
\[
\mathbf{\widehat{\vec{F}.\vec{v}}\,dt =\dfrac{q}{2}(E_{\small x}\,d\hat{x}+d\hat{x}\,E_{\small x})\ \ +\dfrac{q}{2}(E_{\small y}\,d\hat{y}+d\hat{y}\,E_{\small y})\,
\ \ +\dfrac{q}{2}(E_{\small z}\,d\hat{z}+d\hat{z}\,E_{\small z})}\ .\ \ (2.1.11)
\]
Le détail des calculs est pénible, mais la quantité (2.11) est égale à :
\[
\mathbf{d\hat{E_{\small c}}=\dfrac{i}{\hbar}\left [\hat{E_{\small c}}-i\,\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial t}+q\,V,\hat{E_{\small c}}\right ]\,dt}\ .\ \ (2.1.12)
\]
Le théorème de l'énergie cinétique prend donc la forme :
\[
\boxed{\mathbf{d\hat{E_{\small c}}=\widehat{\vec{F}.\vec{v}\,dt}}}\ .\ \ (2.1.13)
\]
Rappels
Les champs dérivent des potentiels suivant les relations :
\[
\begin{align}
\mathbf{E_{\small x}}
&\mathbf{=-\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial t}},\\
\mathbf{E_{\small y}}
&\mathbf{=-\dfrac{\partial V}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial t}},\\
\mathbf{E_{\small z}}
&\mathbf{=-\dfrac{\partial V}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial t}},\\
\mathbf{B_{\small x}}
&\mathbf{=\,\,\, \dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial z}},\\
\mathbf{B_{\small y}}
&\mathbf{=\,\,\, \dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}},\\
\mathbf{B_{\small z}}
&\mathbf{=\,\,\, \dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}}.\\
\end{align}
\]
2.2 Vitesse et accélération
Classiquement nous avons pour la vitesse :
\[
\mathbf{\dot{x}(t)=\lim_{\epsilon \to 0}\, \dfrac{x(t+\epsilon) - x(t)}{\epsilon}}\ .\ \ (2.2.1)
\]
Quantiquement les grandeurs \(\mathbf{x}\) deviennent des éléments de matrice de l'opérateur \(\mathbf{\hat{x}}\) entre les deux états \(\left |\Phi_{t''}\right\rangle\) et \(\mathbf{\left |\Psi _{t'}\right\rangle}\) :
\[
\begin{align}
\mathbf{\left\langle \Phi_{t''} | \hat{x} |\Psi _{t'}\right\rangle}
&\mathbf{=\int_{-\infty}^{+\infty}\, dx \, \Phi^{\star}(x,t'') \,x \, \Psi(x,t')}\\
&\mathbf{=\int_{-\infty}^{+\infty}\, dx \,\left ( \mathbf{e}^{\dfrac{-i(t''-t)\,\hat{H}}{\hbar}}\,\Phi(x,t) \right )^{\dagger}\, x\, \left ( \mathbf{e}^{\dfrac{-i(t'-t)\,\hat{H}}{\hbar}}\,\Psi(x,t) \right )}\\
&\mathbf{=\int_{-\infty}^{+\infty}\, dx \,\Phi^{\star}(x,t)\, \mathbf{e}^{\dfrac{i(t''-t)\,\hat{H}}{\hbar}}\, x\,\, \mathbf{e}^{\dfrac{-i(t'-t)\,\hat{H}}{\hbar}}\, \Psi(x,t)}\ .\ \ (2.2.2)
\end{align}
\]
Posons \(\mathbf{t''=t'}\) et \(\mathbf{\epsilon =t'-t}\) alors :
\[
\mathbf{\left\langle \Phi_{t'} | \hat{x} |\Psi _{t'}\right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\, dx \,\Phi^{\star}(x,t)\, \mathbf{e}^{\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}\, x\,\, \mathbf{e}^{\dfrac{-i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}\, \Psi(x,t)}\ .\ \ (2.2.3)
\]
Le quotient de (2.2.1), avant passage à la limite, correspond à :
\[
\mathbf{\dfrac{x(t+\epsilon) - x(t)}{\epsilon}\, \leftrightarrow \,\int_{-\infty}^{+\infty}\, dx \,\Phi^{\star}(x,t)\, \left (\dfrac{\mathbf{e}^{\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}\, x\,\, \mathbf{e}^{\dfrac{-i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}} -x }{\epsilon}\right )\, \Psi(x,t) }\ .\ \ (2.2.4)
\]
Développons le terme entre parenthèses de l'intégrale ci-dessus en se restreignant au premier ordre :
\[
\mathbf{\dfrac{\mathbf{e}^{\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}\, x\, \mathbf{e}^{\dfrac{-i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}} -x }{\epsilon} =
\dfrac{x+\left [\dfrac{i\, \epsilon\,\hat {H}}{\hbar},x\right ]-x}{\epsilon}}\ .\ \ (2.2.5)
\]
Finalement il reste :
\[
\mathbf{\dfrac{x(t+\epsilon) - x(t)}{\epsilon}\, \leftrightarrow \, \dfrac{i}{\hbar}\,\left [ \hat{H},x \right]}\ .\ \ (2.2.6)
\]
On retrouve (2.2) car l'opérateur position ne dépend pas du temps en représentation de Schrôdinger.
Classiquement nous avons pour l'accélération (expression due à Cauchy) :
\[
\mathbf{\ddot{x}(t)=\lim_{\epsilon \to 0}\, \dfrac{x(t+\epsilon) - 2\, x(t)\, +x(t -\epsilon) }{\epsilon^{2}}}\ .\ \ (2.2.7)
\]
Gagnons un peu de temps en écrivant :
\[
\mathbf{\dfrac{x(t+\epsilon) - 2\, x(t)\, + x(t -\epsilon)}{\epsilon^{2}}\, \leftrightarrow \,\int_{-\infty}^{+\infty}\, dx \,\Phi^{\star}(x,t)
\left ( \dfrac{\mathbf{e}^{\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}\, x\, \mathbf{e}^{\dfrac{-i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}
-2\, x + \mathbf{e}^{\dfrac{-i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}\, x\, \mathbf{e}^{\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}}{\epsilon^{2}}\right )\, \Psi(x,t) }\ .\ \ (2.2.8)
\]
Considérons le terme entre parenthèses de l'intégrale ci-dessus :
\[
\begin{align}
\mathbf{\dfrac{\mathbf{e}^{\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}\, x\, \mathbf{e}^{\dfrac{-i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}
-2\, x + \mathbf{e}^{\dfrac{-i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}\, x\, \mathbf{e}^{\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}}}{\epsilon^{2}}}
&\mathbf{ =\dfrac{x+\left [\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar},x \right ]+\dfrac{1}{2} \left [\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}, \left [\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar},x \right ] \right ]}{\epsilon^{2}}}\\
&\mathbf{\ \ -2\,\dfrac{x}{\epsilon^{2}}}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{x+\left [\dfrac{-i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar},x \right ]+\dfrac{1}{2} \left [\dfrac{-i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}, \left [\dfrac{-i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar},x \right ] \right ]}{\epsilon^{2}}}\\
&\mathbf{ = \dfrac{ \left [\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar}, \left [\dfrac{i\epsilon\,\hat{H}}{\hbar},x \right ] \right ]}{\epsilon^{2}}}\\
&\mathbf{ = \left [\dfrac{i\,\hat{H}}{\hbar}, \left [\dfrac{i\,\hat{H}}{\hbar},x \right ] \right ]}\ .\ \ (2.2.9)
\end{align}
\]
Comme prévu (2.2.9) consiste à appliquer deux fois la différentielle quantique.
3.1 Equation de Shrödinger en coordonnées cartésiennes
L'Hamiltonien classique est une fonction des positions \(\mathbf{q_{\alpha}\ \ \alpha \in [1,2,3]}\) et des impulsions \(\mathbf{P_{\alpha}\ \ \alpha\in [1,2,3]}\) :
\[
\mathbf{H=\dfrac{1}{2\, m}\, \left (P_{1}\,^{2}+P_{2}\, ^{2}+P_{3}\, ^{2}\right )+V}\ \ \ \ (3.1.1)
\]
La grandeur \(\mathbf{H}\) est conservative de valeur \(\mathbf{E}\) et le potentiel \(\mathbf{V}\) est fonction des \(\mathbf{q_{\alpha}}\).
Impulsions et énergie dérivent d'une fonction action \(\mathbf{S(q_{1},q_{2},q_{3},t)}\) ou \(\mathbf{t}\) est le temps d'évolution :
\[
\mathbf{P_{\alpha}=\dfrac{\partial S}{\partial q_{\alpha}}}\\
\mathbf{E=-\dfrac{\partial S}{\partial t}}\ \ \ \ (3.1.2)
\]
L'équation classique d'Hamilton-Jacobi est alors :
\[
\mathbf{H\left (q_{\alpha},\dfrac{\partial S}{\partial q_{\alpha}}\right )+\dfrac{\partial S}{\partial t}}\ \ \ \ (3.1.3)
\]
Schrödinger ne cherche pas à résoudre (3.1.3), c'est d'ailleurs archi-connu à son époque, il pose :
\[
\mathbf{S=-i\,\hbar\, Log(\Psi)}\\
\mathbf{H=\dfrac{1}{2\, m}\, \left (P_{1}\,^{\star}\, P_{1}+P_{2}\, ^{\star}\, P_{2}+P_{3}\, ^{\star}\, P_{3}\right )+V}\ \ \ \ (3.1.4)
\]
La conjugaison complexe dans \(\mathbf{H}\) est introduite car la fonction d'onde \(\mathbf{\Psi}\) est un nombre complexe(amplitude de probabilité).
Les relations (3.1.2) deviennent :
\[
\mathbf{P_{\alpha}=-i\, \hbar\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{\alpha}}}{\Psi}}\\
\mathbf{P_{\alpha}\,^{\star}=i\, \hbar\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{\alpha}}}{\Psi^{\star}}}\\
\mathbf{E=\, \hbar\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}}{\Psi}}\ \ \ \ (3.1.5)
\]
Schrödinger introduit la fonctionnelle :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \left (H\left (q_{\alpha},\dfrac{\partial S}{\partial q_{\alpha}}\right )+\dfrac{\partial S}{\partial t}\right )\, \Psi^{\star}\, \Psi\, dq_{1}\, dq_{2}\, dq_{3}}\ \ \ \ (3.1.6)
\]
On reconnaît la densité de probabilité \(\mathbf{\Psi^{\star}\, \Psi}\) et la mesure d'intégration invariante \(\mathbf{ dq_{1}\, dq_{2}\, dq_{3}}\).
Substituons (16.1.5) dans (16.1.6) :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \left [\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\left (\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{1}}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{1}}}{\Psi}
+ \dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{2}}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{2}}}{\Psi}
+ \dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{3}}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{3}}}{\Psi}\right )
+V-i\, \hbar\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}}{\Psi} \right ]\, \Psi^{\star}\, \Psi\,dq_{1}\, dq_{2}\, dq_{3}}\ \ \ \ (3.1.7)
\]
Faisons entrer le terme \(\mathbf{\Psi^{\star}\, \Psi}\) dans le crochet :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \underbrace{\left [\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\left (
\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{1}}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{1}}
+ \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{2}}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{2}}
+ \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{3}}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{3}}\right )
+V\, \Psi^{\star}\, \Psi-i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}\, \Psi^{\star} \right ]}_{u}\,dq_{1}\, dq_{2}\, dq_{3}}\ \ \ \ (3.1.8)
\]
On cherche à minimiser la fonctionnelle, alors le terme \(\mathbf{u}\) doit vérifier l'équation d'Euler-Lagrange suivante :
\[
\mathbf{\dfrac{\partial u}{\partial \Psi^{\star}}
-\dfrac{\partial}{\partial q_{1}}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{1}}\right )} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial q_{2}}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{2}}\right )} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial q_{3}}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial q_{3}}\right )} \right )
+\dfrac{\partial}{\partial t}\,\underbrace {\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial t}\right )}\right )}_{=0}=0}\ \ \ \ (3.1.9)
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{V\, \Psi-i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}-\dfrac{\partial}{\partial q_{1}}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{1}} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial q_{2}}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{2}} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial q_{3}}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial q_{3}} \right )=0}\ \ \ \ (3.1.10)
\]
soit en définitive :
\[
\boxed{\mathbf{i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\,\left (\underbrace{\dfrac{\partial^{2}\, \Psi}{\partial q_{1}^{2}}
+\dfrac{\partial^{2}\, \Psi}{\partial q_{2}^{2}}
+\dfrac{\partial^{2}\, \Psi}{\partial q_{3}^{2}}}_{\Delta\, \Psi}\right )+V\, \Psi}}\ \ \ \ (3.1.11)
\]
3.2 Equation de Shrödinger en coordonnées sphériques
Les coordonnés sphériques sont \(\mathbf{(r,\theta,\phi)}\) (voir figure ci-dessus) et les impulsions associées sont \(\mathbf{(P_{r},P_{\theta},P_{\phi})}\).
Rappelons la distance carrée élémentaire :
\[
\mathbf{ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\, d\theta ^{2}+r^{2}\, sin(\theta)\, d\phi^{2}}\ \ \ \ (3.2.1)
\]
Si \(\mathbf{t}\) est le temps et \(\mathbf{T}\) l'énergie cinétique alors :
\[
\mathbf{T=\dfrac{1}{2}\, m\,\left (\left ( \dfrac{dr}{dt} \right )^{2}+r^{2}\,\left ( \dfrac{d\theta}{dt} \right )^{2}+r^{2}\, sin(\theta)\,\left (\dfrac{d\phi}{dt}\right )^{2} \right )}\ \ \ \ (3.2.2)
\]
On en déduit les impulsions :
\[
\mathbf{P_{r}=\dfrac{\partial T}{\partial \left (\dfrac{dr}{dt} \right )}=m\, \dfrac{dr}{dt}}\\
\mathbf{P_{\theta}=\dfrac{\partial T}{\partial \left (\dfrac{d\theta}{dt} \right )}=m\, r^{2}\, \dfrac{d\theta}{dt}}\\
\mathbf{P_{\phi}=\dfrac{\partial T}{\partial \left (\dfrac{d\phi}{dt} \right )}=m\, r^{2}\, sin(\theta)\, \dfrac{d\phi}{dt}}\ \ \ \ (3.2.3)
\]
L'expression (3.2.2) devient :
\[
\mathbf{T=\dfrac{1}{2\, m}\, \left (P_{r}^{2}+\dfrac{P_{\theta}^{2}}{r^{2}}+\dfrac{P_{\phi}^{2}}{r^{2}\, sin(\theta)} \right )}\ \ \ \ (3.2.4)
\]
L' Hamiltonien classique est donc :
\[
\mathbf{H=\dfrac{1}{2\, m}\, \left (P_{r}^{2}+\dfrac{P_{\theta}^{2}}{r^{2}}+\dfrac{P_{\phi}^{2}}{r^{2}\, sin(\theta)} \right )+V}\ \ \ \ (3.2.5)
\]
Impulsions et énergie dérivent de la fonction action \(\mathbf{S(r,\theta,\phi)}\) suivant :
\[
\mathbf{P_{r}=\dfrac{\partial S}{\partial r}}\\
\mathbf{P_{\theta}=\dfrac{\partial S}{\partial \theta}}\\
\mathbf{P_{\phi}=\dfrac{\partial S}{\partial \phi}}\\
\mathbf{E=-\dfrac{\partial S}{\partial t}}\ \ \ \ (3.2.6)
\]
Posons :
\[
\mathbf{S=-i\,\hbar \, Log(\Psi)} \ \ \ \ (3.2.7)
\]
Comme \(\mathbf{\Psi}\) est complexe il faut complexifier l'Hamiltonien classique qui devient :
\[
\mathbf{H=\dfrac{1}{2\, m}\, \left (P_{r}\,^{\star}\, P_{r}+\dfrac{P_{\theta}\, ^{\star}\, P_{\theta}}{r^{2}}+\dfrac{P_{\phi}\, ^{\star}\, P_{\phi}}{r^{2}\, sin(\theta)}\right )+V}\ \ \ \ (3.2.8)
\]
Calculons (16.2.6) en tenant compte de (16.2.7) puis formons la fonctionnelle de Schrödinger :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \left [\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\left (\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial r}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial r}}{\Psi}
+ \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \theta}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta}}{\Psi}
+ \dfrac{1}{r^{2}\, sin(\theta)}\dfrac{\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \phi}}{\Psi^{\star}}\,\dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial \phi}}{\Psi}\right )
+V-i\, \hbar\, \dfrac{\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}}{\Psi} \right ]\, \Psi^{\star}\, \Psi\,\boxed{r^{2}\, sin(\theta)\, dr\, d\theta\, d\phi}}\ \ \ \ (3.2.9)
\]
En encadré la mesure invariante d'intégration.
Faisons entrer le terme \(\mathbf{\Psi^{\star}\, \Psi\, r^{2}\, sin(\theta)}\)dans le crochet :
\[
\mathbf{F(\Psi^{\star},\Psi)=\iiint \underbrace{\left [\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\left (r^{2}\, sin(\theta)\,\dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial r}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial r}
+ sin(\theta)\, \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \theta}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta}
+ \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \phi}\,\dfrac{\partial \Psi}{\partial \phi}\right )
+V\, r^{2}\, sin(\theta)\, \Psi^{\star}\, \Psi-i\,r^{2}\, sin(\theta) \hbar\, \Psi^{\star}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} \right ]}_{u}\, dr\, d\theta\, d\phi}\ \ \ \ (3.2.10)
\]
On cherche à minimiser la fonctionnelle, alors le terme \(\mathbf{u}\) doit vérifier l'équation d'Euler-Lagrange suivante :
\[
\mathbf{\dfrac{\partial u}{\partial \Psi^{\star}}
-\dfrac{\partial}{\partial r}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial r}\right )} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial \theta}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \theta}\right )} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial \phi}\,\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial \phi}\right )} \right )
+\dfrac{\partial}{\partial t}\,\underbrace {\left (\dfrac{\partial u}{\partial \left( \dfrac{\partial \Psi^{\star}}{\partial t}\right )}\right )}_{=0}=0}\ \ \ \ (3.2.11)
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{r^{2}\, sin(\theta)\,V\, \Psi-r^{2}\, sin(\theta)i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}-\dfrac{\partial}{\partial r}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, r^{2}\, sin(\theta)\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial r} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial \theta}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, sin(\theta)\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta} \right )
-\dfrac{\partial}{\partial \phi}\, \left (\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial \phi} \right )=0}\ \ \ \ (3.2.12)
\]
\[
\mathbf{r^{2}\, sin(\theta)\,\left (V\, \Psi-i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} \right )}\\
\mathbf{=}\\
\mathbf{\dfrac{-\hbar^{2}}{2\, m}\, sin(\theta)\left (2\, r\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial r}+r^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}\, \Psi}{\partial r^{2}} \right )}\\
\mathbf{-\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \left (cos(\theta)\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta}+sin(\theta)\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial \theta^{2}} \right )}\\
\mathbf{-\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial \phi^{2}}}\ \ \ \ (3.2.13)
\]
Divisons (3.2.13) par \(\mathbf{r^{2}\, sin(\theta)}\) :
\[
\mathbf{V\,\Psi-i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} }\\
\mathbf{=}\\
\mathbf{\dfrac{-\hbar^{2}}{2\, m}\,\left (\dfrac{2}{r}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial r}+\dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial r^{2}} \right )}\\
\mathbf{\dfrac{-\hbar^{2}}{2\, m}\,\left (\dfrac{cos(\theta)}{r^{2}\, sin(\theta)}\dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta}+\dfrac{1}{r^{2}}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial \theta^{2}} \right )}\\
\mathbf{\dfrac{-\hbar^{2}}{2\, m}\, \dfrac{1}{r^{2}}\, sin(\theta)\, \dfrac{\partial ^{2}\, \Psi}{\partial \phi ^{2}}}\ \ \ \ (3.2.14)
\]
soit en définitive :
\[
\boxed{\mathbf{i\, \hbar\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2\, m}\, \left ( \underbrace{
\dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial r^{2}}+\dfrac{2}{r}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial r}
+\dfrac{1}{r^{2}\, sin^{2}(\theta)}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial \phi ^{2}}
+\dfrac{1}{r^{2}}\, \dfrac{\partial ^{2}\Psi}{\partial \theta ^{2}}
+\dfrac{cos(\theta)}{r^{2}\, sin(\theta}\, \dfrac{\partial \Psi}{\partial \theta}}_{\Delta\, \Psi} \right )\, \Psi+V\, \Psi}}\ \ \ \ (3.2.15)
\]
Remarques
-La minimisation de la fonctionnelle devrait être justifiée.
-L'utilisation d'une fonction d'onde complexe permet l'invariance de jauge type Dirac.